Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemen GIF version

Theorem ennnfonelemen 11990
 Description: Lemma for ennnfone 11994. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfone.l 𝐿 = 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻𝑖)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemen (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐹,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝐹,𝑦,𝑖,𝑘   𝑗,𝐺   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑖,𝐿,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemen
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2 ennnfonelemh.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
3 ennnfonelemh.ne . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
4 ennnfonelemh.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
5 ennnfonelemh.n . . . . . . 7 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6 ennnfonelemh.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
7 ennnfonelemh.h . . . . . . 7 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8 ennnfone.l . . . . . . 7 𝐿 = 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻𝑖)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ennnfonelemf1 11987 . . . . . 6 (𝜑𝐿:dom 𝐿1-1𝐴)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ennnfonelemdm 11989 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐿 = ω)
11 f1eq2 5333 . . . . . . 7 (dom 𝐿 = ω → (𝐿:dom 𝐿1-1𝐴𝐿:ω–1-1𝐴))
1210, 11syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿:dom 𝐿1-1𝐴𝐿:ω–1-1𝐴))
139, 12mpbid 146 . . . . 5 (𝜑𝐿:ω–1-1𝐴)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ennnfonelemrn 11988 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐿 = 𝐴)
15 dff1o5 5385 . . . . 5 (𝐿:ω–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐿:ω–1-1𝐴 ∧ ran 𝐿 = 𝐴))
1613, 14, 15sylanbrc 414 . . . 4 (𝜑𝐿:ω–1-1-onto𝐴)
17 omex 4516 . . . . 5 ω ∈ V
1817f1oen 6662 . . . 4 (𝐿:ω–1-1-onto𝐴 → ω ≈ 𝐴)
1916, 18syl 14 . . 3 (𝜑 → ω ≈ 𝐴)
2019ensymd 6686 . 2 (𝜑𝐴 ≈ ω)
21 nnenom 10258 . . 3 ℕ ≈ ω
2221ensymi 6685 . 2 ω ≈ ℕ
23 entr 6687 . 2 ((𝐴 ≈ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≈ ℕ)
2420, 22, 23sylancl 410 1 (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ∪ cun 3075  ∅c0 3369  ifcif 3480  {csn 3533  ⟨cop 3536  ∪ ciun 3822   class class class wbr 3938   ↦ cmpt 3998  suc csuc 4296  ωcom 4513  ◡ccnv 4547  dom cdm 4548  ran crn 4549   “ cima 4551  –1-1→wf1 5129  –onto→wfo 5130  –1-1-onto→wf1o 5131  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783   ∈ cmpo 5785  freccfrec 6296   ↑pm cpm 6552   ≈ cen 6641  0cc0 7664  1c1 7665   + caddc 7667   − cmin 7977  ℕcn 8764  ℕ0cn0 9021  ℤcz 9098  seqcseq 10269 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-addcom 7764  ax-addass 7766  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-ltadd 7780 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-er 6438  df-pm 6554  df-en 6644  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-inn 8765  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-seqfrec 10270 This theorem is referenced by:  ennnfonelemnn0  11991
 Copyright terms: Public domain W3C validator