Theorem ennnfonelemen 13189

Description: Lemma for ennnfone 13193. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfone.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemen	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐹,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝐹,𝑦,𝑖,𝑘   𝑗,𝐺   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑖,𝐿,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8		ennnfone.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑖)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemf1 13186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿:dom 𝐿–1-1→𝐴)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemdm 13188	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ω)
11		f1eq2 5571	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐿 = ω → (𝐿:dom 𝐿–1-1→𝐴 ↔ 𝐿:ω–1-1→𝐴))
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿:dom 𝐿–1-1→𝐴 ↔ 𝐿:ω–1-1→𝐴))
13	9, 12	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ω–1-1→𝐴)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemrn 13187	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐿 = 𝐴)
15		dff1o5 5625	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ω–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐿:ω–1-1→𝐴 ∧ ran 𝐿 = 𝐴))
16	13, 14, 15	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ω–1-1-onto→𝐴)
17		omex 4717	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
18	17	f1oen 7000	. . . 4 ⊢ (𝐿:ω–1-1-onto→𝐴 → ω ≈ 𝐴)
19	16, 18	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ≈ 𝐴)
20	19	ensymd 7025	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ω)
21		nnenom 10800	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
22	21	ensymi 7024	. 2 ⊢ ω ≈ ℕ
23		entr 7026	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≈ ℕ)
24	20, 22, 23	sylancl 413	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ∪ cun 3211  ∅c0 3510  ifcif 3622  {csn 3691  ⟨cop 3694  ∪ ciun 3993   class class class wbr 4111   ↦ cmpt 4173  suc csuc 4488  ωcom 4714  ^◡ccnv 4750  dom cdm 4751  ran crn 4752   “ cima 4754  –1-1→wf1 5351  –onto→wfo 5352  –1-1-onto→wf1o 5353  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ∈ cmpo 6054  freccfrec 6623   ↑_pm cpm 6885   ≈ cen 6975  0cc0 8129  1c1 8130   + caddc 8132   − cmin 8446  ℕcn 9239  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579  seqcseq 10813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-er 6769  df-pm 6887  df-en 6978  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-seqfrec 10814

This theorem is referenced by:  ennnfonelemnn0  13190