ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemen GIF version

Theorem ennnfonelemen 12422
Description: Lemma for ennnfone 12426. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemh.ne (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfone.l 𝐿 = 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻𝑖)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemen (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝐹,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝐹,𝑦,𝑖,𝑘   𝑗,𝐺   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝐻,𝑦   𝑗,𝐽   𝑖,𝐿,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑛   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑛   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemen
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemh.dceq . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2 ennnfonelemh.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
3 ennnfonelemh.ne . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹𝑘) ≠ (𝐹𝑗))
4 ennnfonelemh.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹𝑦)⟩})))
5 ennnfonelemh.n . . . . . . 7 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
6 ennnfonelemh.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑁‘(𝑥 − 1))))
7 ennnfonelemh.h . . . . . . 7 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
8 ennnfone.l . . . . . . 7 𝐿 = 𝑖 ∈ ℕ0 (𝐻𝑖)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ennnfonelemf1 12419 . . . . . 6 (𝜑𝐿:dom 𝐿1-1𝐴)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ennnfonelemdm 12421 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐿 = ω)
11 f1eq2 5418 . . . . . . 7 (dom 𝐿 = ω → (𝐿:dom 𝐿1-1𝐴𝐿:ω–1-1𝐴))
1210, 11syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿:dom 𝐿1-1𝐴𝐿:ω–1-1𝐴))
139, 12mpbid 147 . . . . 5 (𝜑𝐿:ω–1-1𝐴)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ennnfonelemrn 12420 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐿 = 𝐴)
15 dff1o5 5471 . . . . 5 (𝐿:ω–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐿:ω–1-1𝐴 ∧ ran 𝐿 = 𝐴))
1613, 14, 15sylanbrc 417 . . . 4 (𝜑𝐿:ω–1-1-onto𝐴)
17 omex 4593 . . . . 5 ω ∈ V
1817f1oen 6759 . . . 4 (𝐿:ω–1-1-onto𝐴 → ω ≈ 𝐴)
1916, 18syl 14 . . 3 (𝜑 → ω ≈ 𝐴)
2019ensymd 6783 . 2 (𝜑𝐴 ≈ ω)
21 nnenom 10434 . . 3 ℕ ≈ ω
2221ensymi 6782 . 2 ω ≈ ℕ
23 entr 6784 . 2 ((𝐴 ≈ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≈ ℕ)
2420, 22, 23sylancl 413 1 (𝜑𝐴 ≈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  cun 3128  c0 3423  ifcif 3535  {csn 3593  cop 3596   ciun 3887   class class class wbr 4004  cmpt 4065  suc csuc 4366  ωcom 4590  ccnv 4626  dom cdm 4627  ran crn 4628  cima 4630  1-1wf1 5214  ontowfo 5215  1-1-ontowf1o 5216  cfv 5217  (class class class)co 5875  cmpo 5877  freccfrec 6391  pm cpm 6649  cen 6738  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814  cmin 8128  cn 8919  0cn0 9176  cz 9253  seqcseq 10445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-er 6535  df-pm 6651  df-en 6741  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446
This theorem is referenced by:  ennnfonelemnn0  12423
  Copyright terms: Public domain W3C validator