ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enreceq GIF version

Theorem enreceq 7749
Description: Equivalence class equality of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 29-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
enreceq (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶)))

Proof of Theorem enreceq
StepHypRef Expression
1 enrer 7748 . . . 4 ~R Er (P × P)
21a1i 9 . . 3 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → ~R Er (P × P))
3 opelxpi 4670 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
43adantr 276 . . 3 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
52, 4erth 6593 . 2 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~R𝐶, 𝐷⟩ ↔ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ))
6 enrbreq 7747 . 2 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~R𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶)))
75, 6bitr3d 190 1 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 𝐷) = (𝐵 +P 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158  cop 3607   class class class wbr 4015   × cxp 4636  (class class class)co 5888   Er wer 6546  [cec 6547  Pcnp 7304   +P cpp 7306   ~R cer 7309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366  df-enq0 7437  df-nq0 7438  df-0nq0 7439  df-plq0 7440  df-mq0 7441  df-inp 7479  df-iplp 7481  df-enr 7739
This theorem is referenced by:  ltsrprg  7760  m1p1sr  7773  m1m1sr  7774  0idsr  7780  1idsr  7781  00sr  7782  recexgt0sr  7786  aptisr  7792  srpospr  7796  prsradd  7799  map2psrprg  7818  pitonnlem1p1  7859  recidpirq  7871
  Copyright terms: Public domain W3C validator