Theorem eucalgf 12629

Description: Domain and codomain of the step function 𝐸 for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))

Assertion

Ref	Expression
eucalgf	⊢ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem eucalgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 9171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
3	2	neneqd 2423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 = 0)
4	3	iffalsed 3615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩)
5		nnnn0 9409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
7		nn0z 9499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
8		zmodcl 10607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0)
9	7, 8	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0)
10		opelxpi 4757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
11	6, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
12	4, 11	eqeltrd 2308	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
13	12	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
14		iftrue 3610	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
15	14	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
16		opelxpi 4757	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
17	16	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
18	15, 17	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
19		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
20		elnn0 9404	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∨ 𝑦 = 0))
21	19, 20	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℕ ∨ 𝑦 = 0))
22	13, 18, 21	mpjaodan 805	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
23	22	rgen2a 2586	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0)
24		eucalgval.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
25	24	fmpo 6366	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↔ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0))
26	23, 25	mpbi 145	1 ⊢ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510  ifcif 3605  ⟨cop 3672   × cxp 4723  ⟶wf 5322  (class class class)co 6018   ∈ cmpo 6020  0cc0 8032  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479   mod cmo 10585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-q 9854  df-rp 9889  df-fl 10531  df-mod 10586

This theorem is referenced by:  eucalgcvga  12632  eucalg  12633