Theorem eucalgf 12248

Description: Domain and codomain of the step function 𝐸 for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))

Assertion

Ref	Expression
eucalgf	⊢ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem eucalgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 9035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
3	2	neneqd 2388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 = 0)
4	3	iffalsed 3572	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩)
5		nnnn0 9273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
7		nn0z 9363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
8		zmodcl 10453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0)
9	7, 8	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0)
10		opelxpi 4696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
11	6, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
12	4, 11	eqeltrd 2273	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
13	12	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
14		iftrue 3567	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
15	14	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
16		opelxpi 4696	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
17	16	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
18	15, 17	eqeltrd 2273	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
19		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
20		elnn0 9268	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∨ 𝑦 = 0))
21	19, 20	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℕ ∨ 𝑦 = 0))
22	13, 18, 21	mpjaodan 799	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
23	22	rgen2a 2551	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0)
24		eucalgval.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
25	24	fmpo 6268	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↔ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0))
26	23, 25	mpbi 145	1 ⊢ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  ifcif 3562  ⟨cop 3626   × cxp 4662  ⟶wf 5255  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  0cc0 7896  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343   mod cmo 10431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377  df-mod 10432

This theorem is referenced by:  eucalgcvga  12251  eucalg  12252