ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eucalgf GIF version

Theorem eucalgf 11643
Description: Domain and codomain of the step function 𝐸 for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eucalgval.1 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
Assertion
Ref Expression
eucalgf 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem eucalgf
StepHypRef Expression
1 nnne0 8708 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
21adantl 273 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
32neneqd 2304 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 = 0)
43iffalsed 3452 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩)
5 nnnn0 8938 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
65adantl 273 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
7 nn0z 9028 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
8 zmodcl 10068 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0)
97, 8sylan 279 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0)
10 opelxpi 4539 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
116, 9, 10syl2anc 406 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
124, 11eqeltrd 2192 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
1312adantlr 466 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
14 iftrue 3447 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
1514adantl 273 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
16 opelxpi 4539 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
1716adantr 272 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
1815, 17eqeltrd 2192 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
19 simpr 109 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
20 elnn0 8933 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∨ 𝑦 = 0))
2119, 20sylib 121 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℕ ∨ 𝑦 = 0))
2213, 18, 21mpjaodan 770 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
2322rgen2a 2461 . 2 𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0)
24 eucalgval.1 . . 3 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
2524fmpo 6065 . 2 (∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↔ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0))
2623, 25mpbi 144 1 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wo 680   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2283  wral 2391  ifcif 3442  cop 3498   × cxp 4505  wf 5087  (class class class)co 5740  cmpo 5742  0cc0 7584  cn 8680  0cn0 8931  cz 9008   mod cmo 10046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-q 9364  df-rp 9394  df-fl 9994  df-mod 10047
This theorem is referenced by:  eucalgcvga  11646  eucalg  11647
  Copyright terms: Public domain W3C validator