ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eucalgf GIF version

Theorem eucalgf 12098
Description: Domain and codomain of the step function 𝐸 for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eucalgval.1 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
Assertion
Ref Expression
eucalgf 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem eucalgf
StepHypRef Expression
1 nnne0 8982 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
21adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
32neneqd 2381 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 = 0)
43iffalsed 3559 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩)
5 nnnn0 9218 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
65adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
7 nn0z 9308 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
8 zmodcl 10381 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0)
97, 8sylan 283 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0)
10 opelxpi 4679 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 mod 𝑦) ∈ ℕ0) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
116, 9, 10syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
124, 11eqeltrd 2266 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
1312adantlr 477 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
14 iftrue 3554 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
1514adantl 277 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
16 opelxpi 4679 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
1716adantr 276 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
1815, 17eqeltrd 2266 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = 0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
19 simpr 110 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
20 elnn0 9213 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∨ 𝑦 = 0))
2119, 20sylib 122 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℕ ∨ 𝑦 = 0))
2213, 18, 21mpjaodan 799 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0))
2322rgen2a 2544 . 2 𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0)
24 eucalgval.1 . . 3 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
2524fmpo 6230 . 2 (∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↔ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0))
2623, 25mpbi 145 1 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶(ℕ0 × ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360  wral 2468  ifcif 3549  cop 3613   × cxp 4645  wf 5234  (class class class)co 5900  cmpo 5902  0cc0 7846  cn 8954  0cn0 9211  cz 9288   mod cmo 10359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-n0 9212  df-z 9289  df-q 9656  df-rp 9690  df-fl 10307  df-mod 10360
This theorem is referenced by:  eucalgcvga  12101  eucalg  12102
  Copyright terms: Public domain W3C validator