Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eucalgcvga Unicode version

Theorem eucalgcvga 11766
 Description: Once Euclid's Algorithm halts after steps, the second element of the state remains 0 . (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eucalgval.1
eucalg.2
eucalgcvga.3
Assertion
Ref Expression
eucalgcvga
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem eucalgcvga
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eucalgcvga.3 . . . . . . 7
2 xp2nd 6068 . . . . . . 7
31, 2eqeltrid 2227 . . . . . 6
4 eluznn0 9416 . . . . . 6
53, 4sylan 281 . . . . 5
6 nn0uz 9380 . . . . . . 7
7 eucalg.2 . . . . . . 7
8 0zd 9086 . . . . . . 7
9 id 19 . . . . . . 7
10 eucalgval.1 . . . . . . . . 9
1110eucalgf 11763 . . . . . . . 8
1211a1i 9 . . . . . . 7
136, 7, 8, 9, 12algrf 11753 . . . . . 6
1413ffvelrnda 5559 . . . . 5
155, 14syldan 280 . . . 4
16 fvres 5449 . . . 4
1715, 16syl 14 . . 3
18 simpl 108 . . . 4
19 fvres 5449 . . . . . . . 8
2019, 1eqtr4di 2191 . . . . . . 7
2120fveq2d 5429 . . . . . 6
2221eleq2d 2210 . . . . 5
2322biimpar 295 . . . 4
24 f2ndres 6062 . . . . 5
2510eucalglt 11765 . . . . . 6
2611ffvelrni 5558 . . . . . . . 8
27 fvres 5449 . . . . . . . 8
2826, 27syl 14 . . . . . . 7
2928neeq1d 2327 . . . . . 6
30 fvres 5449 . . . . . . 7
3128, 30breq12d 3946 . . . . . 6
3225, 29, 313imtr4d 202 . . . . 5
33 eqid 2140 . . . . 5
3411, 7, 24, 32, 33algcvga 11759 . . . 4
3518, 23, 34sylc 62 . . 3
3617, 35eqtr3d 2175 . 2
3736ex 114 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1332   wcel 1481   wne 2309  cif 3475  csn 3528  cop 3531   class class class wbr 3933   cxp 4541   cres 4545   ccom 4547  wf 5123  cfv 5127  (class class class)co 5778   cmpo 5780  c1st 6040  c2nd 6041  cc0 7640   clt 7820  cn0 8997  cuz 9346   cmo 10122   cseq 10245 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757  ax-pre-mulext 7758  ax-arch 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-ilim 4295  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-frec 6292  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-ap 8364  df-div 8453  df-inn 8741  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-q 9435  df-rp 9467  df-fl 10070  df-mod 10123  df-seqfrec 10246 This theorem is referenced by:  eucalg  11767
 Copyright terms: Public domain W3C validator