Theorem trlsegvdeglem6 16586

Description: Lemma for trlsegvdeg . (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	|- V = (Vtx ` G )
trlsegvdeg.i	|- I = (iEdg ` G )
trlsegvdeg.f	|- ( ph -> Fun I )
trlsegvdeg.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
trlsegvdeg.u	|- ( ph -> U e. V )
trlsegvdeg.w	|- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
trlsegvdeg.vx	|- ( ph -> (Vtx ` X ) = V )
trlsegvdeg.vy	|- ( ph -> (Vtx ` Y ) = V )
trlsegvdeg.vz	|- ( ph -> (Vtx ` Z ) = V )
trlsegvdeg.ix	|- ( ph -> (iEdg ` X ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
trlsegvdeg.iy	|- ( ph -> (iEdg ` Y ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
trlsegvdeg.iz	|- ( ph -> (iEdg ` Z ) = ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem6	|- ( ph -> dom (iEdg ` X ) e. Fin )

Proof of Theorem trlsegvdeglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		trlsegvdeg.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
3		trlsegvdeg.f	. . . 4 |- ( ph -> Fun I )
4		trlsegvdeg.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
5		trlsegvdeg.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
6		trlsegvdeg.w	. . . 4 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
7		trlsegvdeg.vx	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` X ) = V )
8		trlsegvdeg.vy	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` Y ) = V )
9		trlsegvdeg.vz	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` Z ) = V )
10		trlsegvdeg.ix	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` X ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
11		trlsegvdeg.iy	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` Y ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
12		trlsegvdeg.iz	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` Z ) = ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	trlsegvdeglem4 16584	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` X ) = ( ( F " ( 0..^ N ) ) i^i dom I ) )
14	2	trlf1 16509	. . . . . . 7 |- ( F (Trails ` G ) P -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
15	6, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
16		f1f 5578	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
18	17	fimassd 5531	. . . 4 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
19		dfss2 3231	. . . 4 |- ( ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I <-> ( ( F " ( 0..^ N ) ) i^i dom I ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
20	18, 19	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( ( F " ( 0..^ N ) ) i^i dom I ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
21	13, 20	eqtrd 2267	. 2 |- ( ph -> dom (iEdg ` X ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
22		elfzoelz 10503	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> N e. ZZ )
23	4, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
24		elfzoel2 10502	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` F ) e. ZZ )
25	4, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` F ) e. ZZ )
26		elfzo0le 10546	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> N <_ (♯ ` F ) )
27	4, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N <_ (♯ ` F ) )
28		eluz2 9877	. . . . 5 |- ( (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ (♯ ` F ) e. ZZ /\ N <_ (♯ ` F ) ) )
29	23, 25, 27, 28	syl3anbrc 1208	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) )
30		fzoss2 10530	. . . 4 |- ( (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
32		0z 9605	. . . 4 |- 0 e. ZZ
33		fzofig 10818	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
34	32, 23, 33	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
35		imaf1fi 7206	. . 3 |- ( ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I /\ ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( F " ( 0..^ N ) ) e. Fin )
36	15, 31, 34, 35	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ N ) ) e. Fin )
37	21, 36	eqeltrd 2311	1 |- ( ph -> dom (iEdg ` X ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   i^i cin 3213   C_ wss 3214   {csn 3694   <.cop 3697   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   |` cres 4756   "cima 4757   Fun wfun 5351   -->wf 5353   -1-1->wf1 5354   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   0cc0 8143   <_ cle 8325   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  Trailsctrls 16501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-wlks 16439  df-trls 16502

This theorem is referenced by:  trlsegvdegfi  16588  eupth2lem3lem1fi  16589