Theorem trlsegvdeglem6 16706

Description: Lemma for trlsegvdeg . (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	|- V = (Vtx ` G )
trlsegvdeg.i	|- I = (iEdg ` G )
trlsegvdeg.f	|- ( ph -> Fun I )
trlsegvdeg.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
trlsegvdeg.u	|- ( ph -> U e. V )
trlsegvdeg.w	|- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
trlsegvdeg.vx	|- ( ph -> (Vtx ` X ) = V )
trlsegvdeg.vy	|- ( ph -> (Vtx ` Y ) = V )
trlsegvdeg.vz	|- ( ph -> (Vtx ` Z ) = V )
trlsegvdeg.ix	|- ( ph -> (iEdg ` X ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
trlsegvdeg.iy	|- ( ph -> (iEdg ` Y ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
trlsegvdeg.iz	|- ( ph -> (iEdg ` Z ) = ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem6	|- ( ph -> dom (iEdg ` X ) e. Fin )

Proof of Theorem trlsegvdeglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		trlsegvdeg.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
3		trlsegvdeg.f	. . . 4 |- ( ph -> Fun I )
4		trlsegvdeg.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
5		trlsegvdeg.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
6		trlsegvdeg.w	. . . 4 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
7		trlsegvdeg.vx	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` X ) = V )
8		trlsegvdeg.vy	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` Y ) = V )
9		trlsegvdeg.vz	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` Z ) = V )
10		trlsegvdeg.ix	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` X ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
11		trlsegvdeg.iy	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` Y ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
12		trlsegvdeg.iz	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` Z ) = ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	trlsegvdeglem4 16704	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` X ) = ( ( F " ( 0..^ N ) ) i^i dom I ) )
14	2	trlf1 16629	. . . . . . 7 |- ( F (Trails ` G ) P -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
15	6, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
16		f1f 5598	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
18	17	fimassd 5551	. . . 4 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
19		dfss2 3237	. . . 4 |- ( ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I <-> ( ( F " ( 0..^ N ) ) i^i dom I ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
20	18, 19	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( ( F " ( 0..^ N ) ) i^i dom I ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
21	13, 20	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> dom (iEdg ` X ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
22		elfzoelz 10554	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> N e. ZZ )
23	4, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
24		elfzoel2 10553	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` F ) e. ZZ )
25	4, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` F ) e. ZZ )
26		elfzo0le 10597	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> N <_ (♯ ` F ) )
27	4, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N <_ (♯ ` F ) )
28		eluz2 9927	. . . . 5 |- ( (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ (♯ ` F ) e. ZZ /\ N <_ (♯ ` F ) ) )
29	23, 25, 27, 28	syl3anbrc 1212	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) )
30		fzoss2 10581	. . . 4 |- ( (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
32		0z 9655	. . . 4 |- 0 e. ZZ
33		fzofig 10869	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
34	32, 23, 33	sylancr 418	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
35		imaf1fi 7240	. . 3 |- ( ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I /\ ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( F " ( 0..^ N ) ) e. Fin )
36	15, 31, 34, 35	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ N ) ) e. Fin )
37	21, 36	eqeltrd 2315	1 |- ( ph -> dom (iEdg ` X ) e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   i^i cin 3219   C_ wss 3220   {csn 3709   <.cop 3712   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   |` cres 4776   "cima 4777   Fun wfun 5371   -->wf 5373   -1-1->wf1 5374   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   0cc0 8179   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  Trailsctrls 16621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-wlks 16559  df-trls 16622

This theorem is used by:  trlsegvdegfi  16708  eupth2lem3lem1fi  16709