Theorem trlsegvdeglem6 16620

Description: Lemma for trlsegvdeg . (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	|- V = (Vtx ` G )
trlsegvdeg.i	|- I = (iEdg ` G )
trlsegvdeg.f	|- ( ph -> Fun I )
trlsegvdeg.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
trlsegvdeg.u	|- ( ph -> U e. V )
trlsegvdeg.w	|- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
trlsegvdeg.vx	|- ( ph -> (Vtx ` X ) = V )
trlsegvdeg.vy	|- ( ph -> (Vtx ` Y ) = V )
trlsegvdeg.vz	|- ( ph -> (Vtx ` Z ) = V )
trlsegvdeg.ix	|- ( ph -> (iEdg ` X ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
trlsegvdeg.iy	|- ( ph -> (iEdg ` Y ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
trlsegvdeg.iz	|- ( ph -> (iEdg ` Z ) = ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem6	|- ( ph -> dom (iEdg ` X ) e. Fin )

Proof of Theorem trlsegvdeglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		trlsegvdeg.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
3		trlsegvdeg.f	. . . 4 |- ( ph -> Fun I )
4		trlsegvdeg.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
5		trlsegvdeg.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
6		trlsegvdeg.w	. . . 4 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
7		trlsegvdeg.vx	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` X ) = V )
8		trlsegvdeg.vy	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` Y ) = V )
9		trlsegvdeg.vz	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` Z ) = V )
10		trlsegvdeg.ix	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` X ) = ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
11		trlsegvdeg.iy	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` Y ) = { <. ( F ` N ) , ( I ` ( F ` N ) ) >. } )
12		trlsegvdeg.iz	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` Z ) = ( I |` ( F " ( 0 ... N ) ) ) )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	trlsegvdeglem4 16618	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` X ) = ( ( F " ( 0..^ N ) ) i^i dom I ) )
14	2	trlf1 16543	. . . . . . 7 |- ( F (Trails ` G ) P -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
15	6, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
16		f1f 5593	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
18	17	fimassd 5546	. . . 4 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
19		dfss2 3237	. . . 4 |- ( ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I <-> ( ( F " ( 0..^ N ) ) i^i dom I ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
20	18, 19	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( ( F " ( 0..^ N ) ) i^i dom I ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
21	13, 20	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> dom (iEdg ` X ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
22		elfzoelz 10532	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> N e. ZZ )
23	4, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
24		elfzoel2 10531	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` F ) e. ZZ )
25	4, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` F ) e. ZZ )
26		elfzo0le 10575	. . . . . 6 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> N <_ (♯ ` F ) )
27	4, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N <_ (♯ ` F ) )
28		eluz2 9906	. . . . 5 |- ( (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ (♯ ` F ) e. ZZ /\ N <_ (♯ ` F ) ) )
29	23, 25, 27, 28	syl3anbrc 1212	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) )
30		fzoss2 10559	. . . 4 |- ( (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
31	29, 30	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
32		0z 9634	. . . 4 |- 0 e. ZZ
33		fzofig 10847	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
34	32, 23, 33	sylancr 418	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
35		imaf1fi 7230	. . 3 |- ( ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I /\ ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( 0..^ N ) e. Fin ) -> ( F " ( 0..^ N ) ) e. Fin )
36	15, 31, 34, 35	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ N ) ) e. Fin )
37	21, 36	eqeltrd 2315	1 |- ( ph -> dom (iEdg ` X ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   i^i cin 3219   C_ wss 3220   {csn 3705   <.cop 3708   class class class wbr 4125   dom cdm 4769   |` cres 4771   "cima 4772   Fun wfun 5366   -->wf 5368   -1-1->wf1 5369   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   0cc0 8169   <_ cle 8351   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192  Vtxcvtx 16167  iEdgciedg 16168  Trailsctrls 16535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-wlks 16473  df-trls 16536

This theorem is referenced by:  trlsegvdegfi  16622  eupth2lem3lem1fi  16623