Theorem expclzaplem 10210

Description: Closure law for integer exponentiation. Lemma for expclzap 10211 and expap0i 10218. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expclzaplem	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } )

Distinct variable groups:   z, A   z, N

Proof of Theorem expclzaplem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3898	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z # 0 <-> A # 0 ) )
2	1	elrab 2809	. . . 4 |- ( A e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( A e. CC /\ A # 0 ) )
3		ssrab2 3148	. . . . . 6 |- { z e. CC | z # 0 } C_ CC
4		breq1 3898	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( z # 0 <-> x # 0 ) )
5	4	elrab 2809	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
6		breq1 3898	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z # 0 <-> y # 0 ) )
7	6	elrab 2809	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
8		mulcl 7671	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
9	8	ad2ant2r 498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
10		mulap0 8328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x x. y ) # 0 )
11		breq1 3898	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( z # 0 <-> ( x x. y ) # 0 ) )
12	11	elrab 2809	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( ( x x. y ) e. CC /\ ( x x. y ) # 0 ) )
13	9, 10, 12	sylanbrc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. CC | z # 0 } )
14	5, 7, 13	syl2anb 287	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. CC | z # 0 } /\ y e. { z e. CC | z # 0 } ) -> ( x x. y ) e. { z e. CC | z # 0 } )
15		ax-1cn 7638	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
16		1ap0 8270	. . . . . . 7 |- 1 # 0
17		breq1 3898	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( z # 0 <-> 1 # 0 ) )
18	17	elrab 2809	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( 1 e. CC /\ 1 # 0 ) )
19	15, 16, 18	mpbir2an 909	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. CC | z # 0 }
20		recclap 8352	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. CC )
21		recap0 8358	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) # 0 )
22	20, 21	jca 302	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( ( 1 / x ) e. CC /\ ( 1 / x ) # 0 ) )
23		breq1 3898	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 1 / x ) -> ( z # 0 <-> ( 1 / x ) # 0 ) )
24	23	elrab 2809	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / x ) e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( ( 1 / x ) e. CC /\ ( 1 / x ) # 0 ) )
25	22, 5, 24	3imtr4i 200	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. CC | z # 0 } -> ( 1 / x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
26	25	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. CC | z # 0 } /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
27	3, 14, 19, 26	expcl2lemap 10198	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. CC | z # 0 } /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } )
28	27	3expia 1166	. . . 4 |- ( ( A e. { z e. CC | z # 0 } /\ A # 0 ) -> ( N e. ZZ -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } ) )
29	2, 28	sylanbr 281	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ A # 0 ) -> ( N e. ZZ -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } ) )
30	29	anabss3 557	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( N e. ZZ -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } ) )
31	30	3impia 1161	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 945   e. wcel 1463   {crab 2394   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   CCcc 7545   0cc0 7547   1c1 7548   x. cmul 7552   # cap 8261   / cdiv 8345   ZZcz 8958   ^cexp 10185

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-seqfrec 10112  df-exp 10186

This theorem is referenced by:  expclzap  10211  expap0i  10218