ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expclzaplem Unicode version

Theorem expclzaplem 10272
Description: Closure law for integer exponentiation. Lemma for expclzap 10273 and expap0i 10280. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expclzaplem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e. 
{ z  e.  CC  |  z #  0 }
)
Distinct variable groups:    z, A    z, N

Proof of Theorem expclzaplem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3902 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
z #  0  <->  A #  0
) )
21elrab 2813 . . . 4  |-  ( A  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  <->  ( A  e.  CC  /\  A #  0 ) )
3 ssrab2 3152 . . . . . 6  |-  { z  e.  CC  |  z #  0 }  C_  CC
4 breq1 3902 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z #  0  <->  x #  0
) )
54elrab 2813 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  <->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
6 breq1 3902 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
z #  0  <->  y #  0
) )
76elrab 2813 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  <->  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )
8 mulcl 7715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
98ad2ant2r 500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  CC )
10 mulap0 8382 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( x  x.  y ) #  0 )
11 breq1 3902 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  x.  y )  ->  (
z #  0  <->  ( x  x.  y ) #  0 ) )
1211elrab 2813 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  y )  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  <->  ( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y ) #  0 ) )
139, 10, 12sylanbrc 413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  {
z  e.  CC  | 
z #  0 } )
145, 7, 13syl2anb 289 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  /\  y  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }
)  ->  ( x  x.  y )  e.  {
z  e.  CC  | 
z #  0 } )
15 ax-1cn 7681 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
16 1ap0 8319 . . . . . . 7  |-  1 #  0
17 breq1 3902 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
z #  0  <->  1 #  0
) )
1817elrab 2813 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  <->  ( 1  e.  CC  /\  1 #  0 ) )
1915, 16, 18mpbir2an 911 . . . . . 6  |-  1  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }
20 recclap 8406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  CC )
21 recap0 8412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  x ) #  0 )
2220, 21jca 304 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  ->  (
( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  x
) #  0 ) )
23 breq1 3902 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 1  /  x )  ->  (
z #  0  <->  ( 1  /  x ) #  0 ) )
2423elrab 2813 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  x )  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  <->  ( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x ) #  0 ) )
2522, 5, 243imtr4i 200 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  ->  ( 1  /  x )  e. 
{ z  e.  CC  |  z #  0 }
)
2625adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 } )
273, 14, 19, 26expcl2lemap 10260 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  {
z  e.  CC  | 
z #  0 } )
28273expia 1168 . . . 4  |-  ( ( A  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  /\  A #  0 )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N )  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 } ) )
292, 28sylanbr 283 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  /\  A #  0 )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N )  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 } ) )
3029anabss3 559 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N )  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 } ) )
31303impia 1163 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e. 
{ z  e.  CC  |  z #  0 }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 947    e. wcel 1465   {crab 2397   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586   0cc0 7588   1c1 7589    x. cmul 7593   # cap 8310    / cdiv 8399   ZZcz 9012   ^cexp 10247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-seqfrec 10174  df-exp 10248
This theorem is referenced by:  expclzap  10273  expap0i  10280
  Copyright terms: Public domain W3C validator