Theorem expclzaplem 10983

Description: Closure law for integer exponentiation. Lemma for expclzap 10984 and expap0i 10991. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expclzaplem	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } )

Distinct variable groups:   z, A   z, N

Proof of Theorem expclzaplem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4131	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z # 0 <-> A # 0 ) )
2	1	elrab 2982	. . . 4 |- ( A e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( A e. CC /\ A # 0 ) )
3		ssrab2 3333	. . . . . 6 |- { z e. CC | z # 0 } C_ CC
4		breq1 4131	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( z # 0 <-> x # 0 ) )
5	4	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
6		breq1 4131	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z # 0 <-> y # 0 ) )
7	6	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
8		mulcl 8300	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
9	8	ad2ant2r 513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
10		mulap0 8976	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x x. y ) # 0 )
11		breq1 4131	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( z # 0 <-> ( x x. y ) # 0 ) )
12	11	elrab 2982	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( ( x x. y ) e. CC /\ ( x x. y ) # 0 ) )
13	9, 10, 12	sylanbrc 421	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. CC | z # 0 } )
14	5, 7, 13	syl2anb 291	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. CC | z # 0 } /\ y e. { z e. CC | z # 0 } ) -> ( x x. y ) e. { z e. CC | z # 0 } )
15		ax-1cn 8266	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
16		1ap0 8912	. . . . . . 7 |- 1 # 0
17		breq1 4131	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( z # 0 <-> 1 # 0 ) )
18	17	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( 1 e. CC /\ 1 # 0 ) )
19	15, 16, 18	mpbir2an 955	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. CC | z # 0 }
20		recclap 9003	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. CC )
21		recap0 9009	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) # 0 )
22	20, 21	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( ( 1 / x ) e. CC /\ ( 1 / x ) # 0 ) )
23		breq1 4131	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 1 / x ) -> ( z # 0 <-> ( 1 / x ) # 0 ) )
24	23	elrab 2982	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / x ) e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( ( 1 / x ) e. CC /\ ( 1 / x ) # 0 ) )
25	22, 5, 24	3imtr4i 201	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. CC | z # 0 } -> ( 1 / x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. CC | z # 0 } /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
27	3, 14, 19, 26	expcl2lemap 10971	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. CC | z # 0 } /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } )
28	27	3expia 1236	. . . 4 |- ( ( A e. { z e. CC | z # 0 } /\ A # 0 ) -> ( N e. ZZ -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } ) )
29	2, 28	sylanbr 285	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ A # 0 ) -> ( N e. ZZ -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } ) )
30	29	anabss3 591	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( N e. ZZ -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } ) )
31	30	3impia 1231	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   CCcc 8171   0cc0 8173   1c1 8174   x. cmul 8178   # cap 8903   / cdiv 8996   ZZcz 9627   ^cexp 10958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-seqfrec 10868  df-exp 10959

This theorem is referenced by:  expclzap  10984  expap0i  10991  expghmap  14925  lgsne0  16140