Theorem expclzaplem 10826

Description: Closure law for integer exponentiation. Lemma for expclzap 10827 and expap0i 10834. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expclzaplem	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } )

Distinct variable groups:   z, A   z, N

Proof of Theorem expclzaplem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4091	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z # 0 <-> A # 0 ) )
2	1	elrab 2962	. . . 4 |- ( A e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( A e. CC /\ A # 0 ) )
3		ssrab2 3312	. . . . . 6 |- { z e. CC | z # 0 } C_ CC
4		breq1 4091	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( z # 0 <-> x # 0 ) )
5	4	elrab 2962	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
6		breq1 4091	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z # 0 <-> y # 0 ) )
7	6	elrab 2962	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
8		mulcl 8159	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
9	8	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
10		mulap0 8834	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x x. y ) # 0 )
11		breq1 4091	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( z # 0 <-> ( x x. y ) # 0 ) )
12	11	elrab 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( ( x x. y ) e. CC /\ ( x x. y ) # 0 ) )
13	9, 10, 12	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ x # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. CC | z # 0 } )
14	5, 7, 13	syl2anb 291	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. CC | z # 0 } /\ y e. { z e. CC | z # 0 } ) -> ( x x. y ) e. { z e. CC | z # 0 } )
15		ax-1cn 8125	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
16		1ap0 8770	. . . . . . 7 |- 1 # 0
17		breq1 4091	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( z # 0 <-> 1 # 0 ) )
18	17	elrab 2962	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( 1 e. CC /\ 1 # 0 ) )
19	15, 16, 18	mpbir2an 950	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. CC | z # 0 }
20		recclap 8859	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. CC )
21		recap0 8865	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) # 0 )
22	20, 21	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) -> ( ( 1 / x ) e. CC /\ ( 1 / x ) # 0 ) )
23		breq1 4091	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 1 / x ) -> ( z # 0 <-> ( 1 / x ) # 0 ) )
24	23	elrab 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / x ) e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( ( 1 / x ) e. CC /\ ( 1 / x ) # 0 ) )
25	22, 5, 24	3imtr4i 201	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. CC | z # 0 } -> ( 1 / x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. CC | z # 0 } /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. { z e. CC | z # 0 } )
27	3, 14, 19, 26	expcl2lemap 10814	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. CC | z # 0 } /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } )
28	27	3expia 1231	. . . 4 |- ( ( A e. { z e. CC | z # 0 } /\ A # 0 ) -> ( N e. ZZ -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } ) )
29	2, 28	sylanbr 285	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ A # 0 ) -> ( N e. ZZ -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } ) )
30	29	anabss3 587	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( N e. ZZ -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } ) )
31	30	3impia 1226	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. { z e. CC | z # 0 } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   {crab 2514   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   CCcc 8030   0cc0 8032   1c1 8033   x. cmul 8037   # cap 8761   / cdiv 8852   ZZcz 9479   ^cexp 10801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-seqfrec 10711  df-exp 10802

This theorem is referenced by:  expclzap  10827  expap0i  10834  expghmap  14624  lgsne0  15770