Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expclzaplem GIF version

Theorem expclzaplem 10317
 Description: Closure law for integer exponentiation. Lemma for expclzap 10318 and expap0i 10325. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expclzaplem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁

Proof of Theorem expclzaplem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3932 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 # 0 ↔ 𝐴 # 0))
21elrab 2840 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0))
3 ssrab2 3182 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ
4 breq1 3932 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
54elrab 2840 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
6 breq1 3932 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
76elrab 2840 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
8 mulcl 7747 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
98ad2ant2r 500 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
10 mulap0 8415 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
11 breq1 3932 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 · 𝑦) # 0))
1211elrab 2840 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) # 0))
139, 10, 12sylanbrc 413 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
145, 7, 13syl2anb 289 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
15 ax-1cn 7713 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
16 1ap0 8352 . . . . . . 7 1 # 0
17 breq1 3932 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑧 # 0 ↔ 1 # 0))
1817elrab 2840 . . . . . . 7 (1 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0))
1915, 16, 18mpbir2an 926 . . . . . 6 1 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}
20 recclap 8439 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
21 recap0 8445 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) # 0)
2220, 21jca 304 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) # 0))
23 breq1 3932 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (1 / 𝑥) → (𝑧 # 0 ↔ (1 / 𝑥) # 0))
2423elrab 2840 . . . . . . . 8 ((1 / 𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) # 0))
2522, 5, 243imtr4i 200 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} → (1 / 𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
2625adantr 274 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
273, 14, 19, 26expcl2lemap 10305 . . . . 5 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
28273expia 1183 . . . 4 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
292, 28sylanbr 283 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
3029anabss3 574 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
31303impia 1178 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480  {crab 2420   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620  1c1 7621   · cmul 7625   # cap 8343   / cdiv 8432  ℤcz 9054  ↑cexp 10292 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219  df-exp 10293 This theorem is referenced by:  expclzap  10318  expap0i  10325
 Copyright terms: Public domain W3C validator