Theorem expclzaplem 10500

Description: Closure law for integer exponentiation. Lemma for expclzap 10501 and expap0i 10508. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expclzaplem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁

Proof of Theorem expclzaplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3992	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 # 0 ↔ 𝐴 # 0))
2	1	elrab 2886	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0))
3		ssrab2 3232	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ
4		breq1 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
5	4	elrab 2886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
6		breq1 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
7	6	elrab 2886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
8		mulcl 7901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
9	8	ad2ant2r 506	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
10		mulap0 8572	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
11		breq1 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 · 𝑦) # 0))
12	11	elrab 2886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) # 0))
13	9, 10, 12	sylanbrc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
14	5, 7, 13	syl2anb 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
15		ax-1cn 7867	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		1ap0 8509	. . . . . . 7 ⊢ 1 # 0
17		breq1 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 # 0 ↔ 1 # 0))
18	17	elrab 2886	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0))
19	15, 16, 18	mpbir2an 937	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}
20		recclap 8596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
21		recap0 8602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) # 0)
22	20, 21	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) # 0))
23		breq1 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (1 / 𝑥) → (𝑧 # 0 ↔ (1 / 𝑥) # 0))
24	23	elrab 2886	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) # 0))
25	22, 5, 24	3imtr4i 200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} → (1 / 𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
26	25	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
27	3, 14, 19, 26	expcl2lemap 10488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
28	27	3expia 1200	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
29	2, 28	sylanbr 283	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
30	29	anabss3 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
31	30	3impia 1195	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141  {crab 2452   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779   # cap 8500   / cdiv 8589  ℤcz 9212  ↑cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  expclzap  10501  expap0i  10508  lgsne0  13733