Theorem expclzaplem 9814

Description: Closure law for integer exponentiation. Lemma for expclzap 9815 and expap0i 9822. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expclzaplem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁

Proof of Theorem expclzaplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3814	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 # 0 ↔ 𝐴 # 0))
2	1	elrab 2759	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0))
3		ssrab2 3090	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ
4		breq1 3814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
5	4	elrab 2759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
6		breq1 3814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
7	6	elrab 2759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
8		mulcl 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
9	8	ad2ant2r 493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
10		mulap0 8019	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
11		breq1 3814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 · 𝑦) # 0))
12	11	elrab 2759	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) # 0))
13	9, 10, 12	sylanbrc 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
14	5, 7, 13	syl2anb 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
15		ax-1cn 7339	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		1ap0 7965	. . . . . . 7 ⊢ 1 # 0
17		breq1 3814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 # 0 ↔ 1 # 0))
18	17	elrab 2759	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0))
19	15, 16, 18	mpbir2an 884	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}
20		recclap 8042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
21		recap0 8048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) # 0)
22	20, 21	jca 300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) # 0))
23		breq1 3814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (1 / 𝑥) → (𝑧 # 0 ↔ (1 / 𝑥) # 0))
24	23	elrab 2759	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) # 0))
25	22, 5, 24	3imtr4i 199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} → (1 / 𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
26	25	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
27	3, 14, 19, 26	expcl2lemap 9802	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
28	27	3expia 1141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
29	2, 28	sylanbr 279	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
30	29	anabss3 550	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
31	30	3impia 1136	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 920   ∈ wcel 1434  {crab 2357   class class class wbr 3811  (class class class)co 5589  ℂcc 7249  0cc0 7251  1c1 7252   · cmul 7256   # cap 7956   / cdiv 8035  ℤcz 8644  ↑cexp 9789

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-iseq 9739  df-iexp 9790

This theorem is referenced by:  expclzap  9815  expap0i  9822