Theorem expclzaplem 10634

Description: Closure law for integer exponentiation. Lemma for expclzap 10635 and expap0i 10642. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expclzaplem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁

Proof of Theorem expclzaplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4032	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 # 0 ↔ 𝐴 # 0))
2	1	elrab 2916	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0))
3		ssrab2 3264	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ⊆ ℂ
4		breq1 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
5	4	elrab 2916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
6		breq1 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
7	6	elrab 2916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
8		mulcl 7999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
9	8	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
10		mulap0 8673	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) # 0)
11		breq1 4032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑧 # 0 ↔ (𝑥 · 𝑦) # 0))
12	11	elrab 2916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) # 0))
13	9, 10, 12	sylanbrc 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
14	5, 7, 13	syl2anb 291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
15		ax-1cn 7965	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		1ap0 8609	. . . . . . 7 ⊢ 1 # 0
17		breq1 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 # 0 ↔ 1 # 0))
18	17	elrab 2916	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0))
19	15, 16, 18	mpbir2an 944	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}
20		recclap 8698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
21		recap0 8704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) # 0)
22	20, 21	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) # 0))
23		breq1 4032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (1 / 𝑥) → (𝑧 # 0 ↔ (1 / 𝑥) # 0))
24	23	elrab 2916	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) # 0))
25	22, 5, 24	3imtr4i 201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} → (1 / 𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
27	3, 14, 19, 26	expcl2lemap 10622	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
28	27	3expia 1207	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
29	2, 28	sylanbr 285	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
30	29	anabss3 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}))
31	30	3impia 1202	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164  {crab 2476   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   · cmul 7877   # cap 8600   / cdiv 8691  ℤcz 9317  ↑cexp 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-exp 10610

This theorem is referenced by:  expclzap  10635  expap0i  10642  expghmap  14095  lgsne0  15154