Theorem expnass 10827

Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
expnass	⊢ ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Proof of Theorem expnass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 9146	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		3nn0 9348	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		expmul 10766	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3))
4	1, 2, 2, 3	mp3an 1350	. 2 ⊢ (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3)
5		3re 9145	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	2, 2	nn0mulcli 9368	. . . 4 ⊢ (3 · 3) ∈ ℕ0
7	6	nn0zi 9429	. . 3 ⊢ (3 · 3) ∈ ℤ
8	2, 2	nn0expcli 10747	. . . 4 ⊢ (3↑3) ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 9429	. . 3 ⊢ (3↑3) ∈ ℤ
10		1lt3 9243	. . . 4 ⊢ 1 < 3
11	1	sqvali 10801	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = (3 · 3)
12		2z 9435	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		3z 9436	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		2lt3 9242	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 3
15		ltexp2a 10773	. . . . . . 7 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ 2 < 3)) → (3↑2) < (3↑3))
16	10, 14, 15	mpanr12 439	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3↑2) < (3↑3))
17	5, 12, 13, 16	mp3an 1350	. . . . 5 ⊢ (3↑2) < (3↑3)
18	11, 17	eqbrtrri 4082	. . . 4 ⊢ (3 · 3) < (3↑3)
19		ltexp2a 10773	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ (3 · 3) < (3↑3))) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
20	10, 18, 19	mpanr12 439	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
21	5, 7, 9, 20	mp3an 1350	. 2 ⊢ (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3))
22	4, 21	eqbrtrri 4082	1 ⊢ ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Syntax hints:   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967  ℂcc 7958  ℝcr 7959  1c1 7961   · cmul 7965   < clt 8142  2c2 9122  3c3 9123  ℕ₀cn0 9330  ℤcz 9407  ↑cexp 10720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-seqfrec 10630  df-exp 10721

This theorem is referenced by: (None)