ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnass GIF version

Theorem expnass 10025
Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
expnass ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))

Proof of Theorem expnass
StepHypRef Expression
1 3cn 8468 . . 3 3 ∈ ℂ
2 3nn0 8661 . . 3 3 ∈ ℕ0
3 expmul 9965 . . 3 ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3))
41, 2, 2, 3mp3an 1273 . 2 (3↑(3 · 3)) = ((3↑3)↑3)
5 3re 8467 . . 3 3 ∈ ℝ
62, 2nn0mulcli 8681 . . . 4 (3 · 3) ∈ ℕ0
76nn0zi 8742 . . 3 (3 · 3) ∈ ℤ
82, 2nn0expcli 9946 . . . 4 (3↑3) ∈ ℕ0
98nn0zi 8742 . . 3 (3↑3) ∈ ℤ
10 1lt3 8557 . . . 4 1 < 3
111sqvali 9999 . . . . 5 (3↑2) = (3 · 3)
12 2z 8748 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
13 3z 8749 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
14 2lt3 8556 . . . . . . 7 2 < 3
15 ltexp2a 9972 . . . . . . 7 (((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ 2 < 3)) → (3↑2) < (3↑3))
1610, 14, 15mpanr12 430 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3↑2) < (3↑3))
175, 12, 13, 16mp3an 1273 . . . . 5 (3↑2) < (3↑3)
1811, 17eqbrtrri 3858 . . . 4 (3 · 3) < (3↑3)
19 ltexp2a 9972 . . . 4 (((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) ∧ (1 < 3 ∧ (3 · 3) < (3↑3))) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
2010, 18, 19mpanr12 430 . . 3 ((3 ∈ ℝ ∧ (3 · 3) ∈ ℤ ∧ (3↑3) ∈ ℤ) → (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3)))
215, 7, 9, 20mp3an 1273 . 2 (3↑(3 · 3)) < (3↑(3↑3))
224, 21eqbrtrri 3858 1 ((3↑3)↑3) < (3↑(3↑3))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cc 7327  cr 7328  1c1 7330   · cmul 7334   < clt 7501  2c2 8444  3c3 8445  0cn0 8643  cz 8720  cexp 9919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator