Theorem expnnval 10616

Description: Value of exponentiation to positive integer powers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expnnval	|- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ N ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) )

Proof of Theorem expnnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> A e. CC )
2		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> N e. NN )
3	2	nnzd 9441	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
4	2	nnnn0d 9296	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> N e. NN0 )
5	4	nn0ge0d 9299	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> 0 <_ N )
6	5	olcd 735	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A # 0 \/ 0 <_ N ) )
7		exp3val 10615	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ N e. ZZ /\ ( A # 0 \/ 0 <_ N ) ) -> ( A ^ N ) = if ( N = 0 , 1 , if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) ) )
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ N ) = if ( N = 0 , 1 , if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) ) )
9		nnne0 9012	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
10	9	neneqd 2385	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
11	10	iffalsed 3568	. . . 4 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , 1 , if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) ) = if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) )
12		nngt0 9009	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
13	12	iftrued 3565	. . . 4 |- ( N e. NN -> if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) )
14	11, 13	eqtrd 2226	. . 3 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , 1 , if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) )
15	14	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> if ( N = 0 , 1 , if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) )
16	8, 15	eqtrd 2226	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ N ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   ifcif 3558   {csn 3619   class class class wbr 4030   X. cxp 4658   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   1c1 7875   x. cmul 7879   < clt 8056   <_ cle 8057   -ucneg 8193   # cap 8602   / cdiv 8693   NNcn 8984   ZZcz 9320   seqcseq 10521   ^cexp 10612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-exp 10613

This theorem is referenced by:  exp1  10619  expp1  10620  expnegap0  10621