Theorem expnnval 10296

Description: Value of exponentiation to positive integer powers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expnnval	|- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ N ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) )

Proof of Theorem expnnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> A e. CC )
2		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> N e. NN )
3	2	nnzd 9172	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
4	2	nnnn0d 9030	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> N e. NN0 )
5	4	nn0ge0d 9033	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> 0 <_ N )
6	5	olcd 723	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A # 0 \/ 0 <_ N ) )
7		exp3val 10295	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ N e. ZZ /\ ( A # 0 \/ 0 <_ N ) ) -> ( A ^ N ) = if ( N = 0 , 1 , if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) ) )
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1216	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ N ) = if ( N = 0 , 1 , if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) ) )
9		nnne0 8748	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
10	9	neneqd 2329	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
11	10	iffalsed 3484	. . . 4 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , 1 , if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) ) = if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) )
12		nngt0 8745	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
13	12	iftrued 3481	. . . 4 |- ( N e. NN -> if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) )
14	11, 13	eqtrd 2172	. . 3 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , 1 , if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) )
15	14	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> if ( N = 0 , 1 , if ( 0 < N , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u N ) ) ) ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) )
16	8, 15	eqtrd 2172	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ N ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   ifcif 3474   {csn 3527   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   1c1 7621   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   -ucneg 7934   # cap 8343   / cdiv 8432   NNcn 8720   ZZcz 9054   seqcseq 10218   ^cexp 10292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219  df-exp 10293

This theorem is referenced by:  exp1  10299  expp1  10300  expnegap0  10301