ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnnval Unicode version

Theorem expnnval 9958
Description: Value of exponentiation to positive integer powers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expnnval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ N
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  N ) )

Proof of Theorem expnnval
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
2 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
32nnzd 8867 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
42nnnn0d 8726 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
54nn0ge0d 8729 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  N )
65olcd 688 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A #  0  \/  0  <_  N )
)
7 exp3val 9957 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A #  0  \/  0  <_  N ) )  -> 
( A ^ N
)  =  if ( N  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  N , 
(  seq 1 (  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `
 N ) ,  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) ) )
81, 3, 6, 7syl3anc 1174 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ N
)  =  if ( N  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  N , 
(  seq 1 (  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `
 N ) ,  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) ) )
9 nnne0 8450 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
109neneqd 2276 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
1110iffalsed 3403 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  N ,  (  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  N ) ,  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) )  =  if ( 0  <  N , 
(  seq 1 (  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `
 N ) ,  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) )
12 nngt0 8447 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1312iftrued 3400 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( 0  <  N ,  (  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  N ) ,  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  N ) )
1411, 13eqtrd 2120 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  N ,  (  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  N ) ,  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) )  =  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  N ) )
1514adantl 271 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  if ( N  =  0 ,  1 ,  if ( 0  < 
N ,  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  N ) ,  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u N ) ) ) )  =  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  N ) )
168, 15eqtrd 2120 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ N
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   ifcif 3393   {csn 3446   class class class wbr 3845    X. cxp 4436   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7348   0cc0 7350   1c1 7351    x. cmul 7355    < clt 7522    <_ cle 7523   -ucneg 7654   # cap 8058    / cdiv 8139   NNcn 8422   ZZcz 8750    seqcseq 9852   ^cexp 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955
This theorem is referenced by:  exp1  9961  expp1  9962  expnegap0  9963
  Copyright terms: Public domain W3C validator