Theorem exp0 10492

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0 ^ 0 = 1 (0exp0e1 10493) , following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	|- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9236	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 e. ZZ )
2		0le0 8979	. . . . 5 |- 0 <_ 0
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. CC -> 0 <_ 0 )
4	3	olcd 734	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A # 0 \/ 0 <_ 0 ) )
5		exp3val 10490	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. ZZ /\ ( A # 0 \/ 0 <_ 0 ) ) -> ( A ^ 0 ) = if ( 0 = 0 , 1 , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 0 ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) )
6	1, 4, 5	mpd3an23 1339	. 2 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = if ( 0 = 0 , 1 , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 0 ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) )
7		eqid 2175	. . 3 |- 0 = 0
8	7	iftruei 3538	. 2 |- if ( 0 = 0 , 1 , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 0 ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) = 1
9	6, 8	eqtrdi 2224	1 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2146   ifcif 3532   {csn 3589   class class class wbr 3998   X. cxp 4618   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   0cc0 7786   1c1 7787   x. cmul 7791   < clt 7966   <_ cle 7967   -ucneg 8103   # cap 8512   / cdiv 8601   NNcn 8890   ZZcz 9224   seqcseq 10413   ^cexp 10487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-seqfrec 10414  df-exp 10488

This theorem is referenced by:  0exp0e1  10493  expp1  10495  expnegap0  10496  expcllem  10499  mulexp  10527  expadd  10530  expmul  10533  leexp1a  10543  exple1  10544  bernneq  10608  modqexp  10614  exp0d  10615  cjexp  10868  resqrexlemcalc3  10991  absexp  11054  binom  11458  ege2le3  11645  eft0val  11667  demoivreALT  11747  expcncf  13643  dvexp  13726  dvexp2  13727