Theorem exp0 10725

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0 ^ 0 = 1 (0exp0e1 10726) , following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	|- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9419	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 e. ZZ )
2		0le0 9160	. . . . 5 |- 0 <_ 0
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. CC -> 0 <_ 0 )
4	3	olcd 736	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A # 0 \/ 0 <_ 0 ) )
5		exp3val 10723	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. ZZ /\ ( A # 0 \/ 0 <_ 0 ) ) -> ( A ^ 0 ) = if ( 0 = 0 , 1 , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 0 ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) )
6	1, 4, 5	mpd3an23 1352	. 2 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = if ( 0 = 0 , 1 , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 0 ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) )
7		eqid 2207	. . 3 |- 0 = 0
8	7	iftruei 3585	. 2 |- if ( 0 = 0 , 1 , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 0 ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) = 1
9	6, 8	eqtrdi 2256	1 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   ifcif 3579   {csn 3643   class class class wbr 4059   X. cxp 4691   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   1c1 7961   x. cmul 7965   < clt 8142   <_ cle 8143   -ucneg 8279   # cap 8689   / cdiv 8780   NNcn 9071   ZZcz 9407   seqcseq 10629   ^cexp 10720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-seqfrec 10630  df-exp 10721

This theorem is referenced by:  0exp0e1  10726  expp1  10728  expnegap0  10729  expcllem  10732  mulexp  10760  expadd  10763  expmul  10766  leexp1a  10776  exple1  10777  bernneq  10842  modqexp  10848  exp0d  10849  cjexp  11319  resqrexlemcalc3  11442  absexp  11505  binom  11910  ege2le3  12097  eft0val  12119  demoivreALT  12200  bits0  12374  0bits  12385  bitsinv1  12388  numexp0  12860  cnfldexp  14454  expcn  15156  expcncf  15196  dvexp  15298  dvexp2  15299  plyconst  15332  lgsquad2lem2  15674