Theorem exp0 10190

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0 ^ 0 = 1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	|- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 8970	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 e. ZZ )
2		0le0 8719	. . . . 5 |- 0 <_ 0
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. CC -> 0 <_ 0 )
4	3	olcd 706	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A # 0 \/ 0 <_ 0 ) )
5		exp3val 10188	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. ZZ /\ ( A # 0 \/ 0 <_ 0 ) ) -> ( A ^ 0 ) = if ( 0 = 0 , 1 , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 0 ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) )
6	1, 4, 5	mpd3an23 1300	. 2 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = if ( 0 = 0 , 1 , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 0 ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) )
7		eqid 2115	. . 3 |- 0 = 0
8	7	iftruei 3446	. 2 |- if ( 0 = 0 , 1 , if ( 0 < 0 , ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 0 ) , ( 1 / ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` -u 0 ) ) ) ) = 1
9	6, 8	syl6eq 2163	1 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 680   = wceq 1314   e. wcel 1463   ifcif 3440   {csn 3493   class class class wbr 3895   X. cxp 4497   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   CCcc 7545   0cc0 7547   1c1 7548   x. cmul 7552   < clt 7724   <_ cle 7725   -ucneg 7857   # cap 8261   / cdiv 8345   NNcn 8630   ZZcz 8958   seqcseq 10111   ^cexp 10185

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-seqfrec 10112  df-exp 10186

This theorem is referenced by:  0exp0e1  10191  expp1  10193  expnegap0  10194  expcllem  10197  mulexp  10225  expadd  10228  expmul  10231  leexp1a  10241  exple1  10242  bernneq  10305  exp0d  10311  cjexp  10558  resqrexlemcalc3  10680  absexp  10743  binom  11145  ege2le3  11228  eft0val  11250  demoivreALT  11330  expcncf  12578