Theorem expnnval 10404

Description: Value of exponentiation to positive integer powers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expnnval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))

Proof of Theorem expnnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 9268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2	nnnn0d 9126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0ge0d 9129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
6	5	olcd 724	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 # 0 ∨ 0 ≤ 𝑁))
7		exp3val 10403	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 # 0 ∨ 0 ≤ 𝑁)) → (𝐴↑𝑁) = if(𝑁 = 0, 1, if(0 < 𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁)))))
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = if(𝑁 = 0, 1, if(0 < 𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁)))))
9		nnne0 8844	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
10	9	neneqd 2348	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
11	10	iffalsed 3515	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, 1, if(0 < 𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁)))) = if(0 < 𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁))))
12		nngt0 8841	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
13	12	iftrued 3512	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < 𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁))) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
14	11, 13	eqtrd 2190	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, 1, if(0 < 𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁)))) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
15	14	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(𝑁 = 0, 1, if(0 < 𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁)))) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
16	8, 15	eqtrd 2190	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ifcif 3505  {csn 3560   class class class wbr 3965   × cxp 4581  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℂcc 7713  0cc0 7715  1c1 7716   · cmul 7720   < clt 7895   ≤ cle 7896  -cneg 8030   # cap 8439   / cdiv 8528  ℕcn 8816  ℤcz 9150  seqcseq 10326  ↑cexp 10400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-seqfrec 10327  df-exp 10401

This theorem is referenced by:  exp1  10407  expp1  10408  expnegap0  10409