Theorem fihashneq0 10956

Description: Two ways of saying a finite set is not empty. Also, "A is inhabited" would be equivalent by fin0 6996. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashneq0	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem fihashneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 10943	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9508	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0zd 9399	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 0 ∈ ℤ)
4		zapne 9462	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
6		nn0re 9319	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
7		nn0ge0 9335	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐴))
8		ap0gt0 8728	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
10	1, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
11		fihasheq0 10955	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
12	11	necon3bid 2418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
13	5, 10, 12	3bitr3d 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∅c0 3464   class class class wbr 4050  ‘cfv 5279  Fincfn 6839  ℝcr 7939  0cc0 7940   < clt 8122   ≤ cle 8123   # cap 8669  ℕ₀cn0 9310  ℤcz 9387  ♯chash 10937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-recs 6403  df-frec 6489  df-1o 6514  df-er 6632  df-en 6840  df-dom 6841  df-fin 6842  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-ihash 10938

This theorem is referenced by:  wrdlenge1n0  11044  swrdlsw  11140  pfxsuff1eqwrdeq  11170  ccats1pfxeq  11185  ccats1pfxeqrex  11186