Theorem fihashneq0 11182

Description: Two ways of saying a finite set is not empty. Also, "A is inhabited" would be equivalent by fin0 7155. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashneq0	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem fihashneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 11169	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9716	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0zd 9606	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 0 ∈ ℤ)
4		zapne 9669	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
6		nn0re 9522	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
7		nn0ge0 9538	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐴))
8		ap0gt0 8931	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
10	1, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
11		fihasheq0 11181	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
12	11	necon3bid 2455	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
13	5, 10, 12	3bitr3d 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∅c0 3512   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  Fincfn 6988  ℝcr 8142  0cc0 8143   < clt 8324   ≤ cle 8325   # cap 8872  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  ♯chash 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-ihash 11164

This theorem is referenced by:  wrdlenge1n0  11283  swrdlsw  11386  pfxsuff1eqwrdeq  11416  ccats1pfxeq  11431  ccats1pfxeqrex  11432  clwwlkext2edg  16529