Theorem fihashneq0 11248

Description: Two ways of saying a finite set is not empty. Also, "A is inhabited" would be equivalent by fin0 7189. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashneq0	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem fihashneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 11235	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9771	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
3		0zd 9661	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 0 ∈ ℤ)
4		zapne 9724	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
6		nn0re 9577	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
7		nn0ge0 9593	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐴))
8		ap0gt0 8971	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
10	1, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) # 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
11		fihasheq0 11247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
12	11	necon3bid 2461	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
13	5, 10, 12	3bitr3d 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∅c0 3520   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  Fincfn 7022  ℝcr 8179  0cc0 8180   < clt 8361   ≤ cle 8362   # cap 8912  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649  ♯chash 11229

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-ihash 11230

This theorem is used by:  wrdlenge1n0  11353  swrdlsw  11456  pfxsuff1eqwrdeq  11486  ccats1pfxeq  11501  ccats1pfxeqrex  11502  clwwlkext2edg  16785