Theorem findcard2sd 6962

Description: Deduction form of finite set induction . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2sd.ch	⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜓 ↔ 𝜒))
findcard2sd.th	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
findcard2sd.ta	⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜓 ↔ 𝜏))
findcard2sd.et	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
findcard2sd.z	⊢ (𝜑 → 𝜒)
findcard2sd.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝜃 → 𝜏))
findcard2sd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
findcard2sd	⊢ (𝜑 → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)   𝜂(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2sd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3204	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		findcard2sd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
4		sseq1 3207	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
5	4	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6		findcard2sd.ch	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜓 ↔ 𝜒))
7	5, 6	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → 𝜒)))
8		sseq1 3207	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
9	8	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))
10		findcard2sd.th	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
11	9, 10	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝜃)))
12		sseq1 3207	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
13	12	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
14		findcard2sd.ta	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜓 ↔ 𝜏))
15	13, 14	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝜏)))
16		sseq1 3207	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐴))
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)))
18		findcard2sd.et	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → 𝜂)))
20		findcard2sd.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
21	20	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → 𝜒)
22		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝜑)
23		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
24	23	unssad 3341	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
25	22, 24	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
26		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦 ∈ Fin)
27		id 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
28		vsnid 3655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
29		elun2 3332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
31	27, 30	sseldd 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)
32	31	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
33		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
34	32, 33	eldifd 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
35		findcard2sd.i	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝜃 → 𝜏))
36	22, 26, 24, 34, 35	syl22anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝜃 → 𝜏))
37	25, 36	embantd 56	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝜃) → 𝜏))
38	37	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝜃) → 𝜏)))
39	38	com23 78	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝜃) → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝜏)))
40	7, 11, 15, 19, 21, 39	findcard2s 6960	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → 𝜂))
41	3, 40	mpcom 36	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → 𝜂)
42	1, 41	mpan2 425	1 ⊢ (𝜑 → 𝜂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∖ cdif 3154   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  {csn 3623  Fincfn 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811

This theorem is referenced by:  fimax2gtri  6971  finexdc  6972  unfidisj  6992  undifdc  6994  ssfirab  7006  fnfi  7011  dcfi  7056  difinfinf  7176  hashunlem  10913  hashxp  10935  fsumconst  11636  fsumrelem  11653  fprodcl2lem  11787  fprodconst  11802  fprodap0  11803  fprodrec  11811  fprodap0f  11818  fprodle  11822  fprodmodd  11823  iuncld  14435  fsumcncntop  14887