ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  findcard2sd GIF version

Theorem findcard2sd 6905
Description: Deduction form of finite set induction . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2sd.ch (𝑥 = ∅ → (𝜓𝜒))
findcard2sd.th (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
findcard2sd.ta (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜓𝜏))
findcard2sd.et (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
findcard2sd.z (𝜑𝜒)
findcard2sd.i (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝜃𝜏))
findcard2sd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
findcard2sd (𝜑𝜂)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)   𝜂(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2sd
StepHypRef Expression
1 ssid 3187 . 2 𝐴𝐴
2 findcard2sd.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
32adantr 276 . . 3 ((𝜑𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
4 sseq1 3190 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
54anbi2d 464 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6 findcard2sd.ch . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝜓𝜒))
75, 6imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → 𝜒)))
8 sseq1 3190 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
98anbi2d 464 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
10 findcard2sd.th . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
119, 10imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝜃)))
12 sseq1 3190 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
1312anbi2d 464 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
14 findcard2sd.ta . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜓𝜏))
1513, 14imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝜏)))
16 sseq1 3190 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐴𝐴𝐴))
1716anbi2d 464 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝐴𝐴)))
18 findcard2sd.et . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
1917, 18imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑𝐴𝐴) → 𝜂)))
20 findcard2sd.z . . . . 5 (𝜑𝜒)
2120adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → 𝜒)
22 simprl 529 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝜑)
23 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
2423unssad 3324 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐴)
2522, 24jca 306 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝜑𝑦𝐴))
26 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦 ∈ Fin)
27 id 19 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
28 vsnid 3636 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ {𝑧}
29 elun2 3315 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
3028, 29mp1i 10 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
3127, 30sseldd 3168 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑧𝐴)
3231ad2antll 491 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
33 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑦)
3432, 33eldifd 3151 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
35 findcard2sd.i . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝜃𝜏))
3622, 26, 24, 34, 35syl22anc 1249 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝜃𝜏))
3725, 36embantd 56 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (((𝜑𝑦𝐴) → 𝜃) → 𝜏))
3837ex 115 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (((𝜑𝑦𝐴) → 𝜃) → 𝜏)))
3938com23 78 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((𝜑𝑦𝐴) → 𝜃) → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝜏)))
407, 11, 15, 19, 21, 39findcard2s 6903 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑𝐴𝐴) → 𝜂))
413, 40mpcom 36 . 2 ((𝜑𝐴𝐴) → 𝜂)
421, 41mpan2 425 1 (𝜑𝜂)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158  cdif 3138  cun 3139  wss 3141  c0 3434  {csn 3604  Fincfn 6753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-er 6548  df-en 6754  df-fin 6756
This theorem is referenced by:  fimax2gtri  6914  finexdc  6915  unfidisj  6934  undifdc  6936  ssfirab  6946  fnfi  6949  dcfi  6993  difinfinf  7113  hashunlem  10797  hashxp  10819  fsumconst  11475  fsumrelem  11492  fprodcl2lem  11626  fprodconst  11641  fprodap0  11642  fprodrec  11650  fprodap0f  11657  fprodle  11661  fprodmodd  11662  iuncld  13842  fsumcncntop  14283
  Copyright terms: Public domain W3C validator