ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  findcard2sd GIF version

Theorem findcard2sd 6867
Description: Deduction form of finite set induction . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2sd.ch (𝑥 = ∅ → (𝜓𝜒))
findcard2sd.th (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
findcard2sd.ta (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜓𝜏))
findcard2sd.et (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
findcard2sd.z (𝜑𝜒)
findcard2sd.i (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝜃𝜏))
findcard2sd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
findcard2sd (𝜑𝜂)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)   𝜂(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2sd
StepHypRef Expression
1 ssid 3167 . 2 𝐴𝐴
2 findcard2sd.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
32adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
4 sseq1 3170 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
54anbi2d 461 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6 findcard2sd.ch . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝜓𝜒))
75, 6imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → 𝜒)))
8 sseq1 3170 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
98anbi2d 461 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
10 findcard2sd.th . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
119, 10imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝜃)))
12 sseq1 3170 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
1312anbi2d 461 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
14 findcard2sd.ta . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜓𝜏))
1513, 14imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝜏)))
16 sseq1 3170 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐴𝐴𝐴))
1716anbi2d 461 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝐴𝐴)))
18 findcard2sd.et . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
1917, 18imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑𝐴𝐴) → 𝜂)))
20 findcard2sd.z . . . . 5 (𝜑𝜒)
2120adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → 𝜒)
22 simprl 526 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝜑)
23 simprr 527 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
2423unssad 3304 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐴)
2522, 24jca 304 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝜑𝑦𝐴))
26 simpll 524 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦 ∈ Fin)
27 id 19 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
28 vsnid 3613 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ {𝑧}
29 elun2 3295 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
3028, 29mp1i 10 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
3127, 30sseldd 3148 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑧𝐴)
3231ad2antll 488 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
33 simplr 525 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑦)
3432, 33eldifd 3131 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
35 findcard2sd.i . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝜃𝜏))
3622, 26, 24, 34, 35syl22anc 1234 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝜃𝜏))
3725, 36embantd 56 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (((𝜑𝑦𝐴) → 𝜃) → 𝜏))
3837ex 114 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (((𝜑𝑦𝐴) → 𝜃) → 𝜏)))
3938com23 78 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((𝜑𝑦𝐴) → 𝜃) → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝜏)))
407, 11, 15, 19, 21, 39findcard2s 6865 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑𝐴𝐴) → 𝜂))
413, 40mpcom 36 . 2 ((𝜑𝐴𝐴) → 𝜂)
421, 41mpan2 423 1 (𝜑𝜂)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  cdif 3118  cun 3119  wss 3121  c0 3414  {csn 3581  Fincfn 6715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-er 6510  df-en 6716  df-fin 6718
This theorem is referenced by:  fimax2gtri  6876  finexdc  6877  unfidisj  6896  undifdc  6898  ssfirab  6908  fnfi  6911  dcfi  6955  difinfinf  7075  hashunlem  10728  hashxp  10750  fsumconst  11406  fsumrelem  11423  fprodcl2lem  11557  fprodconst  11572  fprodap0  11573  fprodrec  11581  fprodap0f  11588  fprodle  11592  fprodmodd  11593  iuncld  12870  fsumcncntop  13311
  Copyright terms: Public domain W3C validator