ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  findcard2sd GIF version

Theorem findcard2sd 6910
Description: Deduction form of finite set induction . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2sd.ch (𝑥 = ∅ → (𝜓𝜒))
findcard2sd.th (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
findcard2sd.ta (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜓𝜏))
findcard2sd.et (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
findcard2sd.z (𝜑𝜒)
findcard2sd.i (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝜃𝜏))
findcard2sd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
findcard2sd (𝜑𝜂)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)   𝜂(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2sd
StepHypRef Expression
1 ssid 3190 . 2 𝐴𝐴
2 findcard2sd.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
32adantr 276 . . 3 ((𝜑𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
4 sseq1 3193 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
54anbi2d 464 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6 findcard2sd.ch . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝜓𝜒))
75, 6imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → 𝜒)))
8 sseq1 3193 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
98anbi2d 464 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
10 findcard2sd.th . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
119, 10imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝜃)))
12 sseq1 3193 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
1312anbi2d 464 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
14 findcard2sd.ta . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜓𝜏))
1513, 14imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝜏)))
16 sseq1 3193 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐴𝐴𝐴))
1716anbi2d 464 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝐴𝐴)))
18 findcard2sd.et . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
1917, 18imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑𝐴𝐴) → 𝜂)))
20 findcard2sd.z . . . . 5 (𝜑𝜒)
2120adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → 𝜒)
22 simprl 529 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝜑)
23 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
2423unssad 3327 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐴)
2522, 24jca 306 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝜑𝑦𝐴))
26 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦 ∈ Fin)
27 id 19 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
28 vsnid 3639 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ {𝑧}
29 elun2 3318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
3028, 29mp1i 10 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
3127, 30sseldd 3171 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑧𝐴)
3231ad2antll 491 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
33 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑦)
3432, 33eldifd 3154 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
35 findcard2sd.i . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝜃𝜏))
3622, 26, 24, 34, 35syl22anc 1250 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝜃𝜏))
3725, 36embantd 56 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (((𝜑𝑦𝐴) → 𝜃) → 𝜏))
3837ex 115 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (((𝜑𝑦𝐴) → 𝜃) → 𝜏)))
3938com23 78 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((𝜑𝑦𝐴) → 𝜃) → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝜏)))
407, 11, 15, 19, 21, 39findcard2s 6908 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑𝐴𝐴) → 𝜂))
413, 40mpcom 36 . 2 ((𝜑𝐴𝐴) → 𝜂)
421, 41mpan2 425 1 (𝜑𝜂)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  cdif 3141  cun 3142  wss 3144  c0 3437  {csn 3607  Fincfn 6758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-er 6553  df-en 6759  df-fin 6761
This theorem is referenced by:  fimax2gtri  6919  finexdc  6920  unfidisj  6939  undifdc  6941  ssfirab  6951  fnfi  6954  dcfi  6998  difinfinf  7118  hashunlem  10802  hashxp  10824  fsumconst  11480  fsumrelem  11497  fprodcl2lem  11631  fprodconst  11646  fprodap0  11647  fprodrec  11655  fprodap0f  11662  fprodle  11666  fprodmodd  11667  iuncld  14012  fsumcncntop  14453
  Copyright terms: Public domain W3C validator