Theorem findcard2sd 6953

Description: Deduction form of finite set induction . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2sd.ch	⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜓 ↔ 𝜒))
findcard2sd.th	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
findcard2sd.ta	⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜓 ↔ 𝜏))
findcard2sd.et	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
findcard2sd.z	⊢ (𝜑 → 𝜒)
findcard2sd.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝜃 → 𝜏))
findcard2sd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
findcard2sd	⊢ (𝜑 → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)   𝜂(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2sd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3203	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		findcard2sd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
4		sseq1 3206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
5	4	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
6		findcard2sd.ch	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜓 ↔ 𝜒))
7	5, 6	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → 𝜒)))
8		sseq1 3206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
9	8	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))
10		findcard2sd.th	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
11	9, 10	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝜃)))
12		sseq1 3206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
13	12	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
14		findcard2sd.ta	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜓 ↔ 𝜏))
15	13, 14	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝜏)))
16		sseq1 3206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐴))
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)))
18		findcard2sd.et	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → 𝜂)))
20		findcard2sd.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
21	20	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → 𝜒)
22		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝜑)
23		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
24	23	unssad 3340	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
25	22, 24	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
26		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑦 ∈ Fin)
27		id 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
28		vsnid 3654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
29		elun2 3331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
31	27, 30	sseldd 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝐴)
32	31	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
33		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
34	32, 33	eldifd 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
35		findcard2sd.i	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝜃 → 𝜏))
36	22, 26, 24, 34, 35	syl22anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝜃 → 𝜏))
37	25, 36	embantd 56	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝜃) → 𝜏))
38	37	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝜃) → 𝜏)))
39	38	com23 78	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝜃) → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝜏)))
40	7, 11, 15, 19, 21, 39	findcard2s 6951	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → 𝜂))
41	3, 40	mpcom 36	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → 𝜂)
42	1, 41	mpan2 425	1 ⊢ (𝜑 → 𝜂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∖ cdif 3154   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  ∅c0 3450  {csn 3622  Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by:  fimax2gtri  6962  finexdc  6963  unfidisj  6983  undifdc  6985  ssfirab  6997  fnfi  7002  dcfi  7047  difinfinf  7167  hashunlem  10896  hashxp  10918  fsumconst  11619  fsumrelem  11636  fprodcl2lem  11770  fprodconst  11785  fprodap0  11786  fprodrec  11794  fprodap0f  11801  fprodle  11805  fprodmodd  11806  iuncld  14351  fsumcncntop  14803