Theorem gsumfzsnfd 13725

Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumfzsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumsnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
gsumsnfd.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumsnfd.c	⊢ Ⅎ𝑘𝐶

Assertion

Ref	Expression
gsumfzsnfd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem gsumfzsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnfd.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		elsni 3652	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
3		gsumsnd.s	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
5	1, 4	mpteq2da 4137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
6	5	oveq2d 5967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
7		gsumfzsnd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzsn 10195	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
10	9	mpteq1d 4133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
11	10	oveq2d 5967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
12		gsumsnd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
13	7	uzidd 9670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		gsumsnd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
15		gsumsnfd.c	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
16		gsumsnd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
18	15, 16, 17	gsumfzconstf 13722	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
20	6, 11, 19	3eqtr2d 2245	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
21	7	zcnd 9503	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	subidd 8378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑀) = 0)
23	22	oveq1d 5966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑀) + 1) = (0 + 1))
24		0p1e1 9157	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑀) + 1) = 1)
26	25	oveq1d 5966	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶) = (1(.g‘𝐺)𝐶))
27	16, 17	mulg1 13509	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
28	14, 27	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
29	20, 26, 28	3eqtrd 2243	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373  Ⅎwnf 1484   ∈ wcel 2177  Ⅎwnfc 2336  {csn 3634   ↦ cmpt 4109  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  0cc0 7932  1c1 7933   + caddc 7935   − cmin 8250  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655  ...cfz 10137  Basecbs 12876   Σ_g cgsu 13133  Mndcmnd 13292  ._gcmg 13499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-1o 6509  df-er 6627  df-en 6835  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-seqfrec 10600  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-0g 13134  df-igsum 13135  df-minusg 13380  df-mulg 13500

This theorem is referenced by:  gsumfzfsumlemm  14393