Theorem gsumfzsnfd 13934

Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumfzsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumsnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
gsumsnfd.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumsnfd.c	⊢ Ⅎ𝑘𝐶

Assertion

Ref	Expression
gsumfzsnfd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem gsumfzsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnfd.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		elsni 3687	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
3		gsumsnd.s	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
5	1, 4	mpteq2da 4178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
6	5	oveq2d 6034	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
7		gsumfzsnd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzsn 10301	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
10	9	mpteq1d 4174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
11	10	oveq2d 6034	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
12		gsumsnd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
13	7	uzidd 9771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		gsumsnd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
15		gsumsnfd.c	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
16		gsumsnd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
18	15, 16, 17	gsumfzconstf 13931	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
20	6, 11, 19	3eqtr2d 2270	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
21	7	zcnd 9603	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	subidd 8478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑀) = 0)
23	22	oveq1d 6033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑀) + 1) = (0 + 1))
24		0p1e1 9257	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2280	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑀) + 1) = 1)
26	25	oveq1d 6033	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶) = (1(.g‘𝐺)𝐶))
27	16, 17	mulg1 13718	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
28	14, 27	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
29	20, 26, 28	3eqtrd 2268	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397  Ⅎwnf 1508   ∈ wcel 2202  Ⅎwnfc 2361  {csn 3669   ↦ cmpt 4150  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   − cmin 8350  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243  Basecbs 13084   Σ_g cgsu 13342  Mndcmnd 13501  ._gcmg 13708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-seqfrec 10711  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-0g 13343  df-igsum 13344  df-minusg 13589  df-mulg 13709

This theorem is referenced by:  gsumsplit0  13935  gsumfzfsumlemm  14604  gfsumsn  16706