Theorem gsumfzsnfd 13415

Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumfzsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumsnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
gsumsnfd.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumsnfd.c	⊢ Ⅎ𝑘𝐶

Assertion

Ref	Expression
gsumfzsnfd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem gsumfzsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnfd.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		elsni 3636	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
3		gsumsnd.s	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
5	1, 4	mpteq2da 4118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
6	5	oveq2d 5934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
7		gsumfzsnd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzsn 10132	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
10	9	mpteq1d 4114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
11	10	oveq2d 5934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
12		gsumsnd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
13	7	uzidd 9607	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		gsumsnd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
15		gsumsnfd.c	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
16		gsumsnd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
18	15, 16, 17	gsumfzconstf 13412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
20	6, 11, 19	3eqtr2d 2232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
21	7	zcnd 9440	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	subidd 8318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑀) = 0)
23	22	oveq1d 5933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑀) + 1) = (0 + 1))
24		0p1e1 9096	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2242	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑀) + 1) = 1)
26	25	oveq1d 5933	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶) = (1(.g‘𝐺)𝐶))
27	16, 17	mulg1 13199	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
28	14, 27	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
29	20, 26, 28	3eqtrd 2230	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  Ⅎwnf 1471   ∈ wcel 2164  Ⅎwnfc 2323  {csn 3618   ↦ cmpt 4090  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   − cmin 8190  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074  Basecbs 12618   Σ_g cgsu 12868  Mndcmnd 12997  ._gcmg 13189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-minusg 13076  df-mulg 13190

This theorem is referenced by:  gsumfzfsumlemm  14075