Theorem 2lgsoddprmlem3c 15747

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 15749. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	|- ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9135	. . . . . . 7 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	oveq1i 5979	. . . . . 6 |- ( 5 ^ 2 ) = ( ( 4 + 1 ) ^ 2 )
3		4cn 9151	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
4		binom21 10836	. . . . . . 7 |- ( 4 e. CC -> ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 )
6	2, 5	eqtri 2228	. . . . 5 |- ( 5 ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 )
7	6	oveq1i 5979	. . . 4 |- ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) - 1 )
8		3cn 9148	. . . . . 6 |- 3 e. CC
9		8cn 9159	. . . . . 6 |- 8 e. CC
10	8, 9	mulcli 8114	. . . . 5 |- ( 3 x. 8 ) e. CC
11		ax-1cn 8055	. . . . 5 |- 1 e. CC
12		sq4e2t8 10821	. . . . . . . 8 |- ( 4 ^ 2 ) = ( 2 x. 8 )
13		2cn 9144	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
14		4t2e8 9232	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 x. 2 ) = 8
15	9	mullidi 8112	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 8 ) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2231	. . . . . . . . 9 |- ( 4 x. 2 ) = ( 1 x. 8 )
17	3, 13, 16	mulcomli 8116	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 4 ) = ( 1 x. 8 )
18	12, 17	oveq12i 5981	. . . . . . 7 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = ( ( 2 x. 8 ) + ( 1 x. 8 ) )
19	13, 11, 9	adddiri 8120	. . . . . . 7 |- ( ( 2 + 1 ) x. 8 ) = ( ( 2 x. 8 ) + ( 1 x. 8 ) )
20		2p1e3 9207	. . . . . . . 8 |- ( 2 + 1 ) = 3
21	20	oveq1i 5979	. . . . . . 7 |- ( ( 2 + 1 ) x. 8 ) = ( 3 x. 8 )
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2234	. . . . . 6 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = ( 3 x. 8 )
23	22	oveq1i 5979	. . . . 5 |- ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) = ( ( 3 x. 8 ) + 1 )
24	10, 11, 23	mvrraddi 8326	. . . 4 |- ( ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) - 1 ) = ( 3 x. 8 )
25	7, 24	eqtri 2228	. . 3 |- ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) = ( 3 x. 8 )
26	25	oveq1i 5979	. 2 |- ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( 3 x. 8 ) / 8 )
27		8re 9158	. . . 4 |- 8 e. RR
28		8pos 9176	. . . 4 |- 0 < 8
29	27, 28	gt0ap0ii 8738	. . 3 |- 8 # 0
30	8, 9, 29	divcanap4i 8869	. 2 |- ( ( 3 x. 8 ) / 8 ) = 3
31	26, 30	eqtri 2228	1 |- ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 3

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5969   CCcc 7960   1c1 7963   + caddc 7965   x. cmul 7967   - cmin 8280   / cdiv 8782   2c2 9124   3c3 9125   4c4 9126   5c5 9127   8c8 9130   ^cexp 10722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-iord 4432  df-on 4434  df-ilim 4435  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-frec 6502  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-seqfrec 10632  df-exp 10723

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  15749