Theorem 2lgsoddprmlem3c 14496

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 14498. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	|- ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8983	. . . . . . 7 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	oveq1i 5887	. . . . . 6 |- ( 5 ^ 2 ) = ( ( 4 + 1 ) ^ 2 )
3		4cn 8999	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
4		binom21 10635	. . . . . . 7 |- ( 4 e. CC -> ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 )
6	2, 5	eqtri 2198	. . . . 5 |- ( 5 ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 )
7	6	oveq1i 5887	. . . 4 |- ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) - 1 )
8		3cn 8996	. . . . . 6 |- 3 e. CC
9		8cn 9007	. . . . . 6 |- 8 e. CC
10	8, 9	mulcli 7964	. . . . 5 |- ( 3 x. 8 ) e. CC
11		ax-1cn 7906	. . . . 5 |- 1 e. CC
12		sq4e2t8 10620	. . . . . . . 8 |- ( 4 ^ 2 ) = ( 2 x. 8 )
13		2cn 8992	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
14		4t2e8 9079	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 x. 2 ) = 8
15	9	mullidi 7962	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 8 ) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2201	. . . . . . . . 9 |- ( 4 x. 2 ) = ( 1 x. 8 )
17	3, 13, 16	mulcomli 7966	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 4 ) = ( 1 x. 8 )
18	12, 17	oveq12i 5889	. . . . . . 7 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = ( ( 2 x. 8 ) + ( 1 x. 8 ) )
19	13, 11, 9	adddiri 7970	. . . . . . 7 |- ( ( 2 + 1 ) x. 8 ) = ( ( 2 x. 8 ) + ( 1 x. 8 ) )
20		2p1e3 9054	. . . . . . . 8 |- ( 2 + 1 ) = 3
21	20	oveq1i 5887	. . . . . . 7 |- ( ( 2 + 1 ) x. 8 ) = ( 3 x. 8 )
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2204	. . . . . 6 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = ( 3 x. 8 )
23	22	oveq1i 5887	. . . . 5 |- ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) = ( ( 3 x. 8 ) + 1 )
24	10, 11, 23	mvrraddi 8176	. . . 4 |- ( ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) - 1 ) = ( 3 x. 8 )
25	7, 24	eqtri 2198	. . 3 |- ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) = ( 3 x. 8 )
26	25	oveq1i 5887	. 2 |- ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( 3 x. 8 ) / 8 )
27		8re 9006	. . . 4 |- 8 e. RR
28		8pos 9024	. . . 4 |- 0 < 8
29	27, 28	gt0ap0ii 8587	. . 3 |- 8 # 0
30	8, 9, 29	divcanap4i 8718	. 2 |- ( ( 3 x. 8 ) / 8 ) = 3
31	26, 30	eqtri 2198	1 |- ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 3

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5877   CCcc 7811   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   - cmin 8130   / cdiv 8631   2c2 8972   3c3 8973   4c4 8974   5c5 8975   8c8 8978   ^cexp 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  14498