Theorem 2lgsoddprmlem3c 15557

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 15559. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	|- ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9097	. . . . . . 7 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	oveq1i 5953	. . . . . 6 |- ( 5 ^ 2 ) = ( ( 4 + 1 ) ^ 2 )
3		4cn 9113	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
4		binom21 10795	. . . . . . 7 |- ( 4 e. CC -> ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 )
6	2, 5	eqtri 2225	. . . . 5 |- ( 5 ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 )
7	6	oveq1i 5953	. . . 4 |- ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) - 1 )
8		3cn 9110	. . . . . 6 |- 3 e. CC
9		8cn 9121	. . . . . 6 |- 8 e. CC
10	8, 9	mulcli 8076	. . . . 5 |- ( 3 x. 8 ) e. CC
11		ax-1cn 8017	. . . . 5 |- 1 e. CC
12		sq4e2t8 10780	. . . . . . . 8 |- ( 4 ^ 2 ) = ( 2 x. 8 )
13		2cn 9106	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
14		4t2e8 9194	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 x. 2 ) = 8
15	9	mullidi 8074	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 8 ) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2228	. . . . . . . . 9 |- ( 4 x. 2 ) = ( 1 x. 8 )
17	3, 13, 16	mulcomli 8078	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 4 ) = ( 1 x. 8 )
18	12, 17	oveq12i 5955	. . . . . . 7 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = ( ( 2 x. 8 ) + ( 1 x. 8 ) )
19	13, 11, 9	adddiri 8082	. . . . . . 7 |- ( ( 2 + 1 ) x. 8 ) = ( ( 2 x. 8 ) + ( 1 x. 8 ) )
20		2p1e3 9169	. . . . . . . 8 |- ( 2 + 1 ) = 3
21	20	oveq1i 5953	. . . . . . 7 |- ( ( 2 + 1 ) x. 8 ) = ( 3 x. 8 )
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2231	. . . . . 6 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = ( 3 x. 8 )
23	22	oveq1i 5953	. . . . 5 |- ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) = ( ( 3 x. 8 ) + 1 )
24	10, 11, 23	mvrraddi 8288	. . . 4 |- ( ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) - 1 ) = ( 3 x. 8 )
25	7, 24	eqtri 2225	. . 3 |- ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) = ( 3 x. 8 )
26	25	oveq1i 5953	. 2 |- ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( 3 x. 8 ) / 8 )
27		8re 9120	. . . 4 |- 8 e. RR
28		8pos 9138	. . . 4 |- 0 < 8
29	27, 28	gt0ap0ii 8700	. . 3 |- 8 # 0
30	8, 9, 29	divcanap4i 8831	. 2 |- ( ( 3 x. 8 ) / 8 ) = 3
31	26, 30	eqtri 2225	1 |- ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 3

Syntax hints:   = wceq 1372   e. wcel 2175  (class class class)co 5943   CCcc 7922   1c1 7925   + caddc 7927   x. cmul 7929   - cmin 8242   / cdiv 8744   2c2 9086   3c3 9087   4c4 9088   5c5 9089   8c8 9092   ^cexp 10681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-seqfrec 10591  df-exp 10682

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  15559