Theorem 2lgsoddprmlem2 15583

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 9204	. . . . . 6 |- 8 e. NN
2		nnq 9754	. . . . . 6 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 8 e. QQ
4		8pos 9139	. . . . 5 |- 0 < 8
5		eqcom 2207	. . . . . 6 |- ( R = ( N mod 8 ) <-> ( N mod 8 ) = R )
6		modqmuladdim 10512	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 8 e. QQ /\ 0 < 8 ) -> ( ( N mod 8 ) = R -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
7	5, 6	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 8 e. QQ /\ 0 < 8 ) -> ( R = ( N mod 8 ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
8	3, 4, 7	mp3an23 1342	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( R = ( N mod 8 ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
9	8	imp 124	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ R = ( N mod 8 ) ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) )
10	9	3adant2 1019	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) )
11		zcn 9377	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
12		8cn 9122	. . . . . . . . 9 |- 8 e. CC
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> 8 e. CC )
14	11, 13	mulcomd 8094	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
15	14	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
16	15	oveq1d 5959	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. 8 ) + R ) = ( ( 8 x. k ) + R ) )
17	16	eqeq2d 2217	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( k x. 8 ) + R ) <-> N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> k e. ZZ )
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
21	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> 8 e. NN )
22	20, 21	zmodcld 10490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 8 ) e. NN0 )
23	22	nn0zd 9493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 8 ) e. ZZ )
24	23	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. ZZ )
25		eleq1 2268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. ZZ <-> ( N mod 8 ) e. ZZ ) )
26	25	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. ZZ <-> ( N mod 8 ) e. ZZ ) )
27	24, 26	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. ZZ )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> R e. ZZ )
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> R e. ZZ )
30		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> N = ( ( 8 x. k ) + R ) )
31		2lgsoddprmlem1 15582	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
32	19, 29, 30, 31	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
33	32	breq2d 4056	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
34		2z 9400	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
35		simp1 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> N e. ZZ )
36	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> 8 e. NN )
37	35, 36	zmodcld 10490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. NN0 )
38	37	nn0red 9349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. RR )
39		eleq1 2268	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. RR <-> ( N mod 8 ) e. RR ) )
40	39	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. RR <-> ( N mod 8 ) e. RR ) )
41	38, 40	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. RR )
42		resqcl 10752	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR -> ( R ^ 2 ) e. RR )
43		peano2rem 8339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ^ 2 ) e. RR -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) e. RR )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) e. RR )
45		8re 9121	. . . . . . . . . . 11 |- 8 e. RR
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> 8 e. RR )
47	45, 4	gt0ap0ii 8701	. . . . . . . . . . 11 |- 8 # 0
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> 8 # 0 )
49	44, 46, 48	redivclapd 8908	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
50	41, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
51	50	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
52		eleq1 2268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. NN0 <-> ( N mod 8 ) e. NN0 ) )
53	52	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. NN0 <-> ( N mod 8 ) e. NN0 ) )
54	37, 53	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. NN0 )
55		nn0z 9392	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. NN0 -> R e. ZZ )
56	1	nnzi 9393	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 8 e. ZZ
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 8 e. ZZ )
58		zsqcl 10755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( k ^ 2 ) e. ZZ )
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k ^ 2 ) e. ZZ )
60	57, 59	zmulcld 9501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) e. ZZ )
61	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 e. ZZ )
62		zmulcl 9426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. ZZ )
63	62	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. ZZ )
64	61, 63	zmulcld 9501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. ( k x. R ) ) e. ZZ )
65	60, 64	zaddcld 9499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ )
66		4z 9402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. ZZ
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 4 e. ZZ )
68	67, 59	zmulcld 9501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) e. ZZ )
69	68, 63	zaddcld 9499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) e. ZZ )
70		dvdsmul1 12124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
71	34, 69, 70	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
72		4t2e8 9195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 x. 2 ) = 8
73		4cn 9114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 4 e. CC
74		2cn 9107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. CC
75	73, 74	mulcomi 8078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 x. 2 ) = ( 2 x. 4 )
76	72, 75	eqtr3i 2228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 8 = ( 2 x. 4 )
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 8 = ( 2 x. 4 ) )
78	77	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. 4 ) x. ( k ^ 2 ) ) )
79	74	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 e. CC )
80	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 4 e. CC )
81	58	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> ( k ^ 2 ) e. CC )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k ^ 2 ) e. CC )
83	79, 80, 82	mulassd 8096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 2 x. 4 ) x. ( k ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) )
84	78, 83	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) )
85	84	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) = ( ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
86	68	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) e. CC )
87	62	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. CC )
88	87	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. CC )
89	79, 86, 88	adddid 8097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) = ( ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
90	85, 89	eqtr4d 2241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) = ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
91	71, 90	breqtrrd 4072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
92	65, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
93	92	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) )
94	54, 55, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( k e. ZZ -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) )
95	94	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
96	95	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
97		dvdsaddre2b 12152	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR /\ ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
98	34, 51, 96, 97	mp3an2ani 1357	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
99	33, 98	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
100	99	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( 8 x. k ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
101	17, 100	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( k x. 8 ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
102	101	rexlimdva 2623	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
103	10, 102	mpd 13	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   < clt 8107   - cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745   NNcn 9036   2c2 9087   4c4 9089   8c8 9093   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   QQcq 9740   mod cmo 10467   ^cexp 10683   || cdvds 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-ico 10016  df-fl 10413  df-mod 10468  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-dvds 12099

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  15589