Theorem 2lgsoddprmlem2 16105

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 9422	. . . . . 6 |- 8 e. NN
2		nnq 9983	. . . . . 6 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 8 e. QQ
4		8pos 9357	. . . . 5 |- 0 < 8
5		eqcom 2236	. . . . . 6 |- ( R = ( N mod 8 ) <-> ( N mod 8 ) = R )
6		modqmuladdim 10753	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 8 e. QQ /\ 0 < 8 ) -> ( ( N mod 8 ) = R -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
7	5, 6	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 8 e. QQ /\ 0 < 8 ) -> ( R = ( N mod 8 ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
8	3, 4, 7	mp3an23 1366	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( R = ( N mod 8 ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
9	8	imp 124	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ R = ( N mod 8 ) ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) )
10	9	3adant2 1043	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) )
11		zcn 9599	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
12		8cn 9340	. . . . . . . . 9 |- 8 e. CC
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> 8 e. CC )
14	11, 13	mulcomd 8311	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
15	14	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
16	15	oveq1d 6073	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. 8 ) + R ) = ( ( 8 x. k ) + R ) )
17	16	eqeq2d 2246	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( k x. 8 ) + R ) <-> N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> k e. ZZ )
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
21	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> 8 e. NN )
22	20, 21	zmodcld 10731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 8 ) e. NN0 )
23	22	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 8 ) e. ZZ )
24	23	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. ZZ )
25		eleq1 2297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. ZZ <-> ( N mod 8 ) e. ZZ ) )
26	25	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. ZZ <-> ( N mod 8 ) e. ZZ ) )
27	24, 26	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. ZZ )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> R e. ZZ )
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> R e. ZZ )
30		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> N = ( ( 8 x. k ) + R ) )
31		2lgsoddprmlem1 16104	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
32	19, 29, 30, 31	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
33	32	breq2d 4126	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
34		2z 9622	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
35		simp1 1024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> N e. ZZ )
36	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> 8 e. NN )
37	35, 36	zmodcld 10731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. NN0 )
38	37	nn0red 9571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. RR )
39		eleq1 2297	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. RR <-> ( N mod 8 ) e. RR ) )
40	39	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. RR <-> ( N mod 8 ) e. RR ) )
41	38, 40	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. RR )
42		resqcl 10993	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR -> ( R ^ 2 ) e. RR )
43		peano2rem 8556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ^ 2 ) e. RR -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) e. RR )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) e. RR )
45		8re 9339	. . . . . . . . . . 11 |- 8 e. RR
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> 8 e. RR )
47	45, 4	gt0ap0ii 8919	. . . . . . . . . . 11 |- 8 # 0
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> 8 # 0 )
49	44, 46, 48	redivclapd 9126	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
50	41, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
51	50	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
52		eleq1 2297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. NN0 <-> ( N mod 8 ) e. NN0 ) )
53	52	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. NN0 <-> ( N mod 8 ) e. NN0 ) )
54	37, 53	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. NN0 )
55		nn0z 9614	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. NN0 -> R e. ZZ )
56	1	nnzi 9615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 8 e. ZZ
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 8 e. ZZ )
58		zsqcl 10996	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( k ^ 2 ) e. ZZ )
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k ^ 2 ) e. ZZ )
60	57, 59	zmulcld 9724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) e. ZZ )
61	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 e. ZZ )
62		zmulcl 9648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. ZZ )
63	62	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. ZZ )
64	61, 63	zmulcld 9724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. ( k x. R ) ) e. ZZ )
65	60, 64	zaddcld 9722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ )
66		4z 9624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. ZZ
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 4 e. ZZ )
68	67, 59	zmulcld 9724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) e. ZZ )
69	68, 63	zaddcld 9722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) e. ZZ )
70		dvdsmul1 12524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
71	34, 69, 70	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
72		4t2e8 9413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 x. 2 ) = 8
73		4cn 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 4 e. CC
74		2cn 9325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. CC
75	73, 74	mulcomi 8296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 x. 2 ) = ( 2 x. 4 )
76	72, 75	eqtr3i 2257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 8 = ( 2 x. 4 )
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 8 = ( 2 x. 4 ) )
78	77	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. 4 ) x. ( k ^ 2 ) ) )
79	74	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 e. CC )
80	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 4 e. CC )
81	58	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> ( k ^ 2 ) e. CC )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k ^ 2 ) e. CC )
83	79, 80, 82	mulassd 8313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 2 x. 4 ) x. ( k ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) )
84	78, 83	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) )
85	84	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) = ( ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
86	68	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) e. CC )
87	62	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. CC )
88	87	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. CC )
89	79, 86, 88	adddid 8314	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) = ( ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
90	85, 89	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) = ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
91	71, 90	breqtrrd 4142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
92	65, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
93	92	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) )
94	54, 55, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( k e. ZZ -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) )
95	94	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
96	95	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
97		dvdsaddre2b 12552	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR /\ ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
98	34, 51, 96, 97	mp3an2ani 1381	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
99	33, 98	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
100	99	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( 8 x. k ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
101	17, 100	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( k x. 8 ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
102	101	rexlimdva 2662	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
103	10, 102	mpd 13	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   - cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   4c4 9307   8c8 9311   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   QQcq 9969   mod cmo 10708   ^cexp 10924   || cdvds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-ico 10246  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-dvds 12499

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  16111