2lgsoddprmlem2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2lgsoddprmlem2 15834

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	$/\$ $/\$

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 9310	. . . . . 6
2		nnq 9866	. . . . . 6
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5
4		8pos 9245	. . . . 5
5		eqcom 2233	. . . . . 6
6		modqmuladdim 10628	. . . . . 6 $/\$ $/\$
7	5, 6	biimtrid 152	. . . . 5 $/\$ $/\$
8	3, 4, 7	mp3an23 1365	. . . 4
9	8	imp 124	. . 3 $/\$
10	9	3adant2 1042	. 2 $/\$ $/\$
11		zcn 9483	. . . . . . . 8
12		8cn 9228	. . . . . . . . 9
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8
14	11, 13	mulcomd 8200	. . . . . . 7
15	14	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
16	15	oveq1d 6032	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	eqeq2d 2243	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
21	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
22	20, 21	zmodcld 10606	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	nn0zd 9599	. . . . . . . . . . . 12
24	23	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
25		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . 12
26	25	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
27	24, 26	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		2lgsoddprmlem1 15833	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	19, 29, 30, 31	syl3anc 1273	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	breq2d 4100	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		2z 9506	. . . . . . 7
35		simp1 1023	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
36	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
37	35, 36	zmodcld 10606	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
38	37	nn0red 9455	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
39		eleq1 2294	. . . . . . . . . . 11
40	39	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
41	38, 40	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
42		resqcl 10868	. . . . . . . . . . 11
43		peano2rem 8445	. . . . . . . . . . 11
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10
45		8re 9227	. . . . . . . . . . 11
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10
47	45, 4	gt0ap0ii 8807	. . . . . . . . . . 11 #
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . 10 #
49	44, 46, 48	redivclapd 9014	. . . . . . . . 9
50	41, 49	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
52		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . 12
53	52	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
54	37, 53	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
55		nn0z 9498	. . . . . . . . . 10
56	1	nnzi 9499	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58		zsqcl 10871	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
60	57, 59	zmulcld 9607	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
61	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
62		zmulcl 9532	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	62	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	61, 63	zmulcld 9607	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	60, 64	zaddcld 9605	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		4z 9508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
68	67, 59	zmulcld 9607	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
69	68, 63	zaddcld 9605	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
70		dvdsmul1 12373	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71	34, 69, 70	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72		4t2e8 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73		4cn 9220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74		2cn 9213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75	73, 74	mulcomi 8184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76	72, 75	eqtr3i 2254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
78	77	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
79	74	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
80	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
81	58	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
83	79, 80, 82	mulassd 8202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
84	78, 83	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
85	84	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
86	68	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
87	62	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
88	87	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
89	79, 86, 88	adddid 8203	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
90	85, 89	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
91	71, 90	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
92	65, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
93	92	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	54, 55, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	imp 124	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		dvdsaddre2b 12401	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
98	34, 51, 96, 97	mp3an2ani 1380	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	33, 98	bitr4d 191	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
101	17, 100	sylbid 150	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
102	101	rexlimdva 2650	. 2 $/\$ $/\$
103	10, 102	mpd 13	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

wrex 2511 class class class wbr 4088 (class class class)co 6017

cc 8029

cr 8030

cc0 8031

c1 8032

caddc 8034

cmul 8036

clt 8213

cmin 8349 # cap 8760

cdiv 8851

cn 9142

c2 9193

c4 9195

c8 9199

cn0 9401

cz 9478

cq 9852

cmo 10583

cexp 10799

cdvds 12347

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149 ax-arch 8150

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-recs 6470 df-frec 6556 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-2 9201 df-3 9202 df-4 9203 df-5 9204 df-6 9205 df-7 9206 df-8 9207 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-q 9853 df-rp 9888 df-ico 10128 df-fl 10529 df-mod 10584 df-seqfrec 10709 df-exp 10800 df-dvds 12348

This theorem is referenced by: 2lgsoddprmlem4 15840

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