Theorem 2lgsoddprmlem2 14493

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 9088	. . . . . 6 |- 8 e. NN
2		nnq 9635	. . . . . 6 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 8 e. QQ
4		8pos 9024	. . . . 5 |- 0 < 8
5		eqcom 2179	. . . . . 6 |- ( R = ( N mod 8 ) <-> ( N mod 8 ) = R )
6		modqmuladdim 10369	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 8 e. QQ /\ 0 < 8 ) -> ( ( N mod 8 ) = R -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
7	5, 6	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 8 e. QQ /\ 0 < 8 ) -> ( R = ( N mod 8 ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
8	3, 4, 7	mp3an23 1329	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( R = ( N mod 8 ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
9	8	imp 124	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ R = ( N mod 8 ) ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) )
10	9	3adant2 1016	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) )
11		zcn 9260	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
12		8cn 9007	. . . . . . . . 9 |- 8 e. CC
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> 8 e. CC )
14	11, 13	mulcomd 7981	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
15	14	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
16	15	oveq1d 5892	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. 8 ) + R ) = ( ( 8 x. k ) + R ) )
17	16	eqeq2d 2189	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( k x. 8 ) + R ) <-> N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> k e. ZZ )
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
21	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> 8 e. NN )
22	20, 21	zmodcld 10347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 8 ) e. NN0 )
23	22	nn0zd 9375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 8 ) e. ZZ )
24	23	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. ZZ )
25		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. ZZ <-> ( N mod 8 ) e. ZZ ) )
26	25	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. ZZ <-> ( N mod 8 ) e. ZZ ) )
27	24, 26	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. ZZ )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> R e. ZZ )
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> R e. ZZ )
30		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> N = ( ( 8 x. k ) + R ) )
31		2lgsoddprmlem1 14492	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
32	19, 29, 30, 31	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
33	32	breq2d 4017	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
34		2z 9283	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
35		simp1 997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> N e. ZZ )
36	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> 8 e. NN )
37	35, 36	zmodcld 10347	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. NN0 )
38	37	nn0red 9232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. RR )
39		eleq1 2240	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. RR <-> ( N mod 8 ) e. RR ) )
40	39	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. RR <-> ( N mod 8 ) e. RR ) )
41	38, 40	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. RR )
42		resqcl 10590	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR -> ( R ^ 2 ) e. RR )
43		peano2rem 8226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ^ 2 ) e. RR -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) e. RR )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) e. RR )
45		8re 9006	. . . . . . . . . . 11 |- 8 e. RR
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> 8 e. RR )
47	45, 4	gt0ap0ii 8587	. . . . . . . . . . 11 |- 8 # 0
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> 8 # 0 )
49	44, 46, 48	redivclapd 8794	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
50	41, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
51	50	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
52		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. NN0 <-> ( N mod 8 ) e. NN0 ) )
53	52	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. NN0 <-> ( N mod 8 ) e. NN0 ) )
54	37, 53	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. NN0 )
55		nn0z 9275	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. NN0 -> R e. ZZ )
56	1	nnzi 9276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 8 e. ZZ
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 8 e. ZZ )
58		zsqcl 10593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( k ^ 2 ) e. ZZ )
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k ^ 2 ) e. ZZ )
60	57, 59	zmulcld 9383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) e. ZZ )
61	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 e. ZZ )
62		zmulcl 9308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. ZZ )
63	62	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. ZZ )
64	61, 63	zmulcld 9383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. ( k x. R ) ) e. ZZ )
65	60, 64	zaddcld 9381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ )
66		4z 9285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. ZZ
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 4 e. ZZ )
68	67, 59	zmulcld 9383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) e. ZZ )
69	68, 63	zaddcld 9381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) e. ZZ )
70		dvdsmul1 11822	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
71	34, 69, 70	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
72		4t2e8 9079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 x. 2 ) = 8
73		4cn 8999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 4 e. CC
74		2cn 8992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. CC
75	73, 74	mulcomi 7965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 x. 2 ) = ( 2 x. 4 )
76	72, 75	eqtr3i 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 8 = ( 2 x. 4 )
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 8 = ( 2 x. 4 ) )
78	77	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. 4 ) x. ( k ^ 2 ) ) )
79	74	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 e. CC )
80	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 4 e. CC )
81	58	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> ( k ^ 2 ) e. CC )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k ^ 2 ) e. CC )
83	79, 80, 82	mulassd 7983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 2 x. 4 ) x. ( k ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) )
84	78, 83	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) )
85	84	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) = ( ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
86	68	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) e. CC )
87	62	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. CC )
88	87	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. CC )
89	79, 86, 88	adddid 7984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) = ( ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
90	85, 89	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) = ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
91	71, 90	breqtrrd 4033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
92	65, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
93	92	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) )
94	54, 55, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( k e. ZZ -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) )
95	94	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
96	95	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
97		dvdsaddre2b 11850	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR /\ ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
98	34, 51, 96, 97	mp3an2ani 1344	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
99	33, 98	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
100	99	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( 8 x. k ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
101	17, 100	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( k x. 8 ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
102	101	rexlimdva 2594	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
103	10, 102	mpd 13	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   < clt 7994   - cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631   NNcn 8921   2c2 8972   4c4 8974   8c8 8978   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   QQcq 9621   mod cmo 10324   ^cexp 10521   || cdvds 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-dvds 11797

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  14499