Theorem 2lgsoddprmlem2 16139

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 9451	. . . . . 6 |- 8 e. NN
2		nnq 10012	. . . . . 6 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 8 e. QQ
4		8pos 9386	. . . . 5 |- 0 < 8
5		eqcom 2240	. . . . . 6 |- ( R = ( N mod 8 ) <-> ( N mod 8 ) = R )
6		modqmuladdim 10782	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 8 e. QQ /\ 0 < 8 ) -> ( ( N mod 8 ) = R -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
7	5, 6	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 8 e. QQ /\ 0 < 8 ) -> ( R = ( N mod 8 ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
8	3, 4, 7	mp3an23 1370	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( R = ( N mod 8 ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
9	8	imp 124	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ R = ( N mod 8 ) ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) )
10	9	3adant2 1047	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) )
11		zcn 9628	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
12		8cn 9369	. . . . . . . . 9 |- 8 e. CC
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> 8 e. CC )
14	11, 13	mulcomd 8337	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
15	14	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
16	15	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. 8 ) + R ) = ( ( 8 x. k ) + R ) )
17	16	eqeq2d 2250	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( k x. 8 ) + R ) <-> N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> k e. ZZ )
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
21	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> 8 e. NN )
22	20, 21	zmodcld 10760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 8 ) e. NN0 )
23	22	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 8 ) e. ZZ )
24	23	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. ZZ )
25		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. ZZ <-> ( N mod 8 ) e. ZZ ) )
26	25	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. ZZ <-> ( N mod 8 ) e. ZZ ) )
27	24, 26	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. ZZ )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> R e. ZZ )
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> R e. ZZ )
30		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> N = ( ( 8 x. k ) + R ) )
31		2lgsoddprmlem1 16138	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
32	19, 29, 30, 31	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
33	32	breq2d 4137	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
34		2z 9651	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
35		simp1 1028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> N e. ZZ )
36	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> 8 e. NN )
37	35, 36	zmodcld 10760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. NN0 )
38	37	nn0red 9600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. RR )
39		eleq1 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. RR <-> ( N mod 8 ) e. RR ) )
40	39	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. RR <-> ( N mod 8 ) e. RR ) )
41	38, 40	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. RR )
42		resqcl 11022	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR -> ( R ^ 2 ) e. RR )
43		peano2rem 8583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ^ 2 ) e. RR -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) e. RR )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) e. RR )
45		8re 9368	. . . . . . . . . . 11 |- 8 e. RR
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> 8 e. RR )
47	45, 4	gt0ap0ii 8946	. . . . . . . . . . 11 |- 8 # 0
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> 8 # 0 )
49	44, 46, 48	redivclapd 9155	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
50	41, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
51	50	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
52		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. NN0 <-> ( N mod 8 ) e. NN0 ) )
53	52	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. NN0 <-> ( N mod 8 ) e. NN0 ) )
54	37, 53	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. NN0 )
55		nn0z 9643	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. NN0 -> R e. ZZ )
56	1	nnzi 9644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 8 e. ZZ
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 8 e. ZZ )
58		zsqcl 11025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( k ^ 2 ) e. ZZ )
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k ^ 2 ) e. ZZ )
60	57, 59	zmulcld 9753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) e. ZZ )
61	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 e. ZZ )
62		zmulcl 9677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. ZZ )
63	62	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. ZZ )
64	61, 63	zmulcld 9753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. ( k x. R ) ) e. ZZ )
65	60, 64	zaddcld 9751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ )
66		4z 9653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. ZZ
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 4 e. ZZ )
68	67, 59	zmulcld 9753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) e. ZZ )
69	68, 63	zaddcld 9751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) e. ZZ )
70		dvdsmul1 12558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
71	34, 69, 70	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
72		4t2e8 9442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 x. 2 ) = 8
73		4cn 9361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 4 e. CC
74		2cn 9354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. CC
75	73, 74	mulcomi 8322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 x. 2 ) = ( 2 x. 4 )
76	72, 75	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 8 = ( 2 x. 4 )
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 8 = ( 2 x. 4 ) )
78	77	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. 4 ) x. ( k ^ 2 ) ) )
79	74	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 e. CC )
80	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 4 e. CC )
81	58	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> ( k ^ 2 ) e. CC )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k ^ 2 ) e. CC )
83	79, 80, 82	mulassd 8339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 2 x. 4 ) x. ( k ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) )
84	78, 83	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) )
85	84	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) = ( ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
86	68	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) e. CC )
87	62	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. CC )
88	87	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. CC )
89	79, 86, 88	adddid 8340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) = ( ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
90	85, 89	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) = ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
91	71, 90	breqtrrd 4153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
92	65, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
93	92	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) )
94	54, 55, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( k e. ZZ -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) )
95	94	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
96	95	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
97		dvdsaddre2b 12586	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR /\ ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
98	34, 51, 96, 97	mp3an2ani 1385	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
99	33, 98	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
100	99	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( 8 x. k ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
101	17, 100	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( k x. 8 ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
102	101	rexlimdva 2668	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
103	10, 102	mpd 13	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   - cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   4c4 9336   8c8 9340   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   QQcq 9998   mod cmo 10737   ^cexp 10953   || cdvds 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-dvds 12533

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  16145