Theorem 2lgsoddprmlem2 16430

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 9483	. . . . . 6 |- 8 e. NN
2		nnq 10049	. . . . . 6 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 8 e. QQ
4		8pos 9416	. . . . 5 |- 0 < 8
5		eqcom 2240	. . . . . 6 |- ( R = ( N mod 8 ) <-> ( N mod 8 ) = R )
6		modqmuladdim 10825	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 8 e. QQ /\ 0 < 8 ) -> ( ( N mod 8 ) = R -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
7	5, 6	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 8 e. QQ /\ 0 < 8 ) -> ( R = ( N mod 8 ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
8	3, 4, 7	mp3an23 1370	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( R = ( N mod 8 ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) ) )
9	8	imp 124	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ R = ( N mod 8 ) ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) )
10	9	3adant2 1047	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) )
11		zcn 9660	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
12		8cn 9399	. . . . . . . . 9 |- 8 e. CC
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> 8 e. CC )
14	11, 13	mulcomd 8353	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
15	14	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
16	15	oveq1d 6103	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. 8 ) + R ) = ( ( 8 x. k ) + R ) )
17	16	eqeq2d 2250	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( k x. 8 ) + R ) <-> N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> k e. ZZ )
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
21	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> 8 e. NN )
22	20, 21	zmodcld 10803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 8 ) e. NN0 )
23	22	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 8 ) e. ZZ )
24	23	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. ZZ )
25		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. ZZ <-> ( N mod 8 ) e. ZZ ) )
26	25	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. ZZ <-> ( N mod 8 ) e. ZZ ) )
27	24, 26	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. ZZ )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> R e. ZZ )
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> R e. ZZ )
30		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> N = ( ( 8 x. k ) + R ) )
31		2lgsoddprmlem1 16429	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
32	19, 29, 30, 31	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
33	32	breq2d 4143	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
34		2z 9683	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
35		simp1 1028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> N e. ZZ )
36	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> 8 e. NN )
37	35, 36	zmodcld 10803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. NN0 )
38	37	nn0red 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( N mod 8 ) e. RR )
39		eleq1 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. RR <-> ( N mod 8 ) e. RR ) )
40	39	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. RR <-> ( N mod 8 ) e. RR ) )
41	38, 40	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. RR )
42		resqcl 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR -> ( R ^ 2 ) e. RR )
43		peano2rem 8600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ^ 2 ) e. RR -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) e. RR )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) e. RR )
45		8re 9398	. . . . . . . . . . 11 |- 8 e. RR
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> 8 e. RR )
47	45, 4	gt0ap0ii 8964	. . . . . . . . . . 11 |- 8 # 0
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> 8 # 0 )
49	44, 46, 48	redivclapd 9173	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
50	41, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
51	50	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR )
52		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( R e. NN0 <-> ( N mod 8 ) e. NN0 ) )
53	52	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( R e. NN0 <-> ( N mod 8 ) e. NN0 ) )
54	37, 53	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> R e. NN0 )
55		nn0z 9675	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. NN0 -> R e. ZZ )
56	1	nnzi 9676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 8 e. ZZ
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 8 e. ZZ )
58		zsqcl 11068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( k ^ 2 ) e. ZZ )
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k ^ 2 ) e. ZZ )
60	57, 59	zmulcld 9785	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) e. ZZ )
61	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 e. ZZ )
62		zmulcl 9709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. ZZ )
63	62	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. ZZ )
64	61, 63	zmulcld 9785	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. ( k x. R ) ) e. ZZ )
65	60, 64	zaddcld 9783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ )
66		4z 9685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. ZZ
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 4 e. ZZ )
68	67, 59	zmulcld 9785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) e. ZZ )
69	68, 63	zaddcld 9783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) e. ZZ )
70		dvdsmul1 12605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
71	34, 69, 70	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
72		4t2e8 9473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 x. 2 ) = 8
73		4cn 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 4 e. CC
74		2cn 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. CC
75	73, 74	mulcomi 8338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 x. 2 ) = ( 2 x. 4 )
76	72, 75	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 8 = ( 2 x. 4 )
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 8 = ( 2 x. 4 ) )
78	77	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. 4 ) x. ( k ^ 2 ) ) )
79	74	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 e. CC )
80	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 4 e. CC )
81	58	zcnd 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> ( k ^ 2 ) e. CC )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k ^ 2 ) e. CC )
83	79, 80, 82	mulassd 8355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 2 x. 4 ) x. ( k ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) )
84	78, 83	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) )
85	84	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) = ( ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
86	68	zcnd 9780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) e. CC )
87	62	zcnd 9780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. CC )
88	87	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k x. R ) e. CC )
89	79, 86, 88	adddid 8356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) = ( ( 2 x. ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
90	85, 89	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) = ( 2 x. ( ( 4 x. ( k ^ 2 ) ) + ( k x. R ) ) ) )
91	71, 90	breqtrrd 4159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) )
92	65, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
93	92	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) )
94	54, 55, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( k e. ZZ -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) )
95	94	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
96	95	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) )
97		dvdsaddre2b 12633	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) e. RR /\ ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) e. ZZ /\ 2 || ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
98	34, 51, 96, 97	mp3an2ani 1385	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 8 x. ( k ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( k x. R ) ) ) + ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
99	33, 98	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) /\ N = ( ( 8 x. k ) + R ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
100	99	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( 8 x. k ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
101	17, 100	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( N = ( ( k x. 8 ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
102	101	rexlimdva 2668	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( E. k e. ZZ N = ( ( k x. 8 ) + R ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) ) )
103	10, 102	mpd 13	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( N ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   - cmin 8504   # cap 8917   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   4c4 9366   8c8 9370   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   QQcq 10035   mod cmo 10780   ^cexp 10996   || cdvds 12579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-dvds 12580

This theorem is used by:  2lgsoddprmlem4  16436