2lgsoddprmlem2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2lgsoddprmlem2 15800

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	$/\$ $/\$

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 9289	. . . . . 6
2		nnq 9840	. . . . . 6
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5
4		8pos 9224	. . . . 5
5		eqcom 2231	. . . . . 6
6		modqmuladdim 10601	. . . . . 6 $/\$ $/\$
7	5, 6	biimtrid 152	. . . . 5 $/\$ $/\$
8	3, 4, 7	mp3an23 1363	. . . 4
9	8	imp 124	. . 3 $/\$
10	9	3adant2 1040	. 2 $/\$ $/\$
11		zcn 9462	. . . . . . . 8
12		8cn 9207	. . . . . . . . 9
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8
14	11, 13	mulcomd 8179	. . . . . . 7
15	14	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
16	15	oveq1d 6022	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	eqeq2d 2241	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
21	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
22	20, 21	zmodcld 10579	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	nn0zd 9578	. . . . . . . . . . . 12
24	23	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
25		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . 12
26	25	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
27	24, 26	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		2lgsoddprmlem1 15799	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	19, 29, 30, 31	syl3anc 1271	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	breq2d 4095	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		2z 9485	. . . . . . 7
35		simp1 1021	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
36	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
37	35, 36	zmodcld 10579	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
38	37	nn0red 9434	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
39		eleq1 2292	. . . . . . . . . . 11
40	39	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
41	38, 40	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
42		resqcl 10841	. . . . . . . . . . 11
43		peano2rem 8424	. . . . . . . . . . 11
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10
45		8re 9206	. . . . . . . . . . 11
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10
47	45, 4	gt0ap0ii 8786	. . . . . . . . . . 11 #
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . 10 #
49	44, 46, 48	redivclapd 8993	. . . . . . . . 9
50	41, 49	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
52		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . 12
53	52	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
54	37, 53	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
55		nn0z 9477	. . . . . . . . . 10
56	1	nnzi 9478	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58		zsqcl 10844	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
60	57, 59	zmulcld 9586	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
61	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
62		zmulcl 9511	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	62	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	61, 63	zmulcld 9586	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	60, 64	zaddcld 9584	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		4z 9487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
68	67, 59	zmulcld 9586	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
69	68, 63	zaddcld 9584	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
70		dvdsmul1 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71	34, 69, 70	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72		4t2e8 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73		4cn 9199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74		2cn 9192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75	73, 74	mulcomi 8163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76	72, 75	eqtr3i 2252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
78	77	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
79	74	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
80	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
81	58	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
83	79, 80, 82	mulassd 8181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
84	78, 83	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
85	84	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
86	68	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
87	62	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
88	87	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
89	79, 86, 88	adddid 8182	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
90	85, 89	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
91	71, 90	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
92	65, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
93	92	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	54, 55, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	imp 124	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		dvdsaddre2b 12367	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
98	34, 51, 96, 97	mp3an2ani 1378	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	33, 98	bitr4d 191	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
101	17, 100	sylbid 150	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
102	101	rexlimdva 2648	. 2 $/\$ $/\$
103	10, 102	mpd 13	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

wrex 2509 class class class wbr 4083 (class class class)co 6007

cc 8008

cr 8009

cc0 8010

c1 8011

caddc 8013

cmul 8015

clt 8192

cmin 8328 # cap 8739

cdiv 8830

cn 9121

c2 9172

c4 9174

c8 9178

cn0 9380

cz 9457

cq 9826

cmo 10556

cexp 10772

cdvds 12313

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-mulrcl 8109 ax-addcom 8110 ax-mulcom 8111 ax-addass 8112 ax-mulass 8113 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-1rid 8117 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-precex 8120 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-apti 8125 ax-pre-ltadd 8126 ax-pre-mulgt0 8127 ax-pre-mulext 8128 ax-arch 8129

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-frec 6543 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-reap 8733 df-ap 8740 df-div 8831 df-inn 9122 df-2 9180 df-3 9181 df-4 9182 df-5 9183 df-6 9184 df-7 9185 df-8 9186 df-n0 9381 df-z 9458 df-uz 9734 df-q 9827 df-rp 9862 df-ico 10102 df-fl 10502 df-mod 10557 df-seqfrec 10682 df-exp 10773 df-dvds 12314

This theorem is referenced by: 2lgsoddprmlem4 15806

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