2lgsoddprmlem2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2lgsoddprmlem2 15854

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	$/\$ $/\$

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 9311	. . . . . 6
2		nnq 9867	. . . . . 6
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5
4		8pos 9246	. . . . 5
5		eqcom 2233	. . . . . 6
6		modqmuladdim 10630	. . . . . 6 $/\$ $/\$
7	5, 6	biimtrid 152	. . . . 5 $/\$ $/\$
8	3, 4, 7	mp3an23 1365	. . . 4
9	8	imp 124	. . 3 $/\$
10	9	3adant2 1042	. 2 $/\$ $/\$
11		zcn 9484	. . . . . . . 8
12		8cn 9229	. . . . . . . . 9
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8
14	11, 13	mulcomd 8201	. . . . . . 7
15	14	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
16	15	oveq1d 6033	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	eqeq2d 2243	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
21	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
22	20, 21	zmodcld 10608	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . 12
24	23	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
25		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . 12
26	25	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
27	24, 26	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		2lgsoddprmlem1 15853	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	19, 29, 30, 31	syl3anc 1273	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	breq2d 4100	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		2z 9507	. . . . . . 7
35		simp1 1023	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
36	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
37	35, 36	zmodcld 10608	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
38	37	nn0red 9456	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
39		eleq1 2294	. . . . . . . . . . 11
40	39	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
41	38, 40	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
42		resqcl 10870	. . . . . . . . . . 11
43		peano2rem 8446	. . . . . . . . . . 11
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10
45		8re 9228	. . . . . . . . . . 11
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10
47	45, 4	gt0ap0ii 8808	. . . . . . . . . . 11 #
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . 10 #
49	44, 46, 48	redivclapd 9015	. . . . . . . . 9
50	41, 49	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
52		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . 12
53	52	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
54	37, 53	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
55		nn0z 9499	. . . . . . . . . 10
56	1	nnzi 9500	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58		zsqcl 10873	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
60	57, 59	zmulcld 9608	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
61	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
62		zmulcl 9533	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	62	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	61, 63	zmulcld 9608	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	60, 64	zaddcld 9606	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		4z 9509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
68	67, 59	zmulcld 9608	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
69	68, 63	zaddcld 9606	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
70		dvdsmul1 12392	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71	34, 69, 70	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72		4t2e8 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73		4cn 9221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74		2cn 9214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75	73, 74	mulcomi 8185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76	72, 75	eqtr3i 2254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
78	77	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
79	74	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
80	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
81	58	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
83	79, 80, 82	mulassd 8203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
84	78, 83	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
85	84	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
86	68	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
87	62	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
88	87	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
89	79, 86, 88	adddid 8204	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
90	85, 89	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
91	71, 90	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
92	65, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
93	92	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	54, 55, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	imp 124	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		dvdsaddre2b 12420	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
98	34, 51, 96, 97	mp3an2ani 1380	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	33, 98	bitr4d 191	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
101	17, 100	sylbid 150	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
102	101	rexlimdva 2650	. 2 $/\$ $/\$
103	10, 102	mpd 13	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

wrex 2511 class class class wbr 4088 (class class class)co 6018

cc 8030

cr 8031

cc0 8032

c1 8033

caddc 8035

cmul 8037

clt 8214

cmin 8350 # cap 8761

cdiv 8852

cn 9143

c2 9194

c4 9196

c8 9200

cn0 9402

cz 9479

cq 9853

cmo 10585

cexp 10801

cdvds 12366

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-frec 6557 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-5 9205 df-6 9206 df-7 9207 df-8 9208 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-ico 10129 df-fl 10531 df-mod 10586 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-dvds 12367

This theorem is referenced by: 2lgsoddprmlem4 15860

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