2lgsoddprmlem2 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > 2lgsoddprmlem2		Unicode version

Theorem 2lgsoddprmlem2 15779

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	$/\$ $/\$

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 9274	. . . . . 6
2		nnq 9824	. . . . . 6
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5
4		8pos 9209	. . . . 5
5		eqcom 2231	. . . . . 6
6		modqmuladdim 10584	. . . . . 6 $/\$ $/\$
7	5, 6	biimtrid 152	. . . . 5 $/\$ $/\$
8	3, 4, 7	mp3an23 1363	. . . 4
9	8	imp 124	. . 3 $/\$
10	9	3adant2 1040	. 2 $/\$ $/\$
11		zcn 9447	. . . . . . . 8
12		8cn 9192	. . . . . . . . 9
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8
14	11, 13	mulcomd 8164	. . . . . . 7
15	14	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
16	15	oveq1d 6015	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	eqeq2d 2241	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14
21	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14
22	20, 21	zmodcld 10562	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	nn0zd 9563	. . . . . . . . . . . 12
24	23	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
25		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . 12
26	25	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
27	24, 26	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		2lgsoddprmlem1 15778	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	19, 29, 30, 31	syl3anc 1271	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	breq2d 4094	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		2z 9470	. . . . . . 7
35		simp1 1021	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
36	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
37	35, 36	zmodcld 10562	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
38	37	nn0red 9419	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
39		eleq1 2292	. . . . . . . . . . 11
40	39	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
41	38, 40	mpbird 167	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
42		resqcl 10824	. . . . . . . . . . 11
43		peano2rem 8409	. . . . . . . . . . 11
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10
45		8re 9191	. . . . . . . . . . 11
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10
47	45, 4	gt0ap0ii 8771	. . . . . . . . . . 11 #
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . 10 #
49	44, 46, 48	redivclapd 8978	. . . . . . . . 9
50	41, 49	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
52		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . 12
53	52	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
54	37, 53	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
55		nn0z 9462	. . . . . . . . . 10
56	1	nnzi 9463	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58		zsqcl 10827	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
60	57, 59	zmulcld 9571	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
61	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
62		zmulcl 9496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
63	62	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	61, 63	zmulcld 9571	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	60, 64	zaddcld 9569	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		4z 9472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
68	67, 59	zmulcld 9571	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
69	68, 63	zaddcld 9569	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
70		dvdsmul1 12319	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71	34, 69, 70	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72		4t2e8 9265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73		4cn 9184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74		2cn 9177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75	73, 74	mulcomi 8148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76	72, 75	eqtr3i 2252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
78	77	oveq1d 6015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
79	74	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
80	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
81	58	zcnd 9566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
83	79, 80, 82	mulassd 8166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
84	78, 83	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
85	84	oveq1d 6015	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
86	68	zcnd 9566	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
87	62	zcnd 9566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
88	87	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
89	79, 86, 88	adddid 8167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
90	85, 89	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
91	71, 90	breqtrrd 4110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
92	65, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
93	92	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$
94	54, 55, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	imp 124	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		dvdsaddre2b 12347	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
98	34, 51, 96, 97	mp3an2ani 1378	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	33, 98	bitr4d 191	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
101	17, 100	sylbid 150	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
102	101	rexlimdva 2648	. 2 $/\$ $/\$
103	10, 102	mpd 13	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

wrex 2509 class class class wbr 4082 (class class class)co 6000

cc 7993

cr 7994

cc0 7995

c1 7996

caddc 7998

cmul 8000

clt 8177

cmin 8313 # cap 8724

cdiv 8815

cn 9106

c2 9157

c4 9159

c8 9163

cn0 9365

cz 9442

cq 9810

cmo 10539

cexp 10755

cdvds 12293

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4198 ax-sep 4201 ax-nul 4209 ax-pow 4257 ax-pr 4292 ax-un 4523 ax-setind 4628 ax-iinf 4679 ax-cnex 8086 ax-resscn 8087 ax-1cn 8088 ax-1re 8089 ax-icn 8090 ax-addcl 8091 ax-addrcl 8092 ax-mulcl 8093 ax-mulrcl 8094 ax-addcom 8095 ax-mulcom 8096 ax-addass 8097 ax-mulass 8098 ax-distr 8099 ax-i2m1 8100 ax-0lt1 8101 ax-1rid 8102 ax-0id 8103 ax-rnegex 8104 ax-precex 8105 ax-cnre 8106 ax-pre-ltirr 8107 ax-pre-ltwlin 8108 ax-pre-lttrn 8109 ax-pre-apti 8110 ax-pre-ltadd 8111 ax-pre-mulgt0 8112 ax-pre-mulext 8113 ax-arch 8114

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3888 df-int 3923 df-iun 3966 df-br 4083 df-opab 4145 df-mpt 4146 df-tr 4182 df-id 4383 df-po 4386 df-iso 4387 df-iord 4456 df-on 4458 df-ilim 4459 df-suc 4461 df-iom 4682 df-xp 4724 df-rel 4725 df-cnv 4726 df-co 4727 df-dm 4728 df-rn 4729 df-res 4730 df-ima 4731 df-iota 5277 df-fun 5319 df-fn 5320 df-f 5321 df-f1 5322 df-fo 5323 df-f1o 5324 df-fv 5325 df-riota 5953 df-ov 6003 df-oprab 6004 df-mpo 6005 df-1st 6284 df-2nd 6285 df-recs 6449 df-frec 6535 df-pnf 8179 df-mnf 8180 df-xr 8181 df-ltxr 8182 df-le 8183 df-sub 8315 df-neg 8316 df-reap 8718 df-ap 8725 df-div 8816 df-inn 9107 df-2 9165 df-3 9166 df-4 9167 df-5 9168 df-6 9169 df-7 9170 df-8 9171 df-n0 9366 df-z 9443 df-uz 9719 df-q 9811 df-rp 9846 df-ico 10086 df-fl 10485 df-mod 10540 df-seqfrec 10665 df-exp 10756 df-dvds 12294

This theorem is referenced by: 2lgsoddprmlem4 15785

W3C validator