Theorem hashfac 11288

Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfac	|- ( A e. Fin -> (♯ ` { f | f : A -1-1-onto-> A } ) = ( ! ` (♯ ` A ) ) )

Distinct variable group:   A, f

Proof of Theorem hashfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf1 11287	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A e. Fin ) -> (♯ ` { f | f : A -1-1-> A } ) = ( ( ! ` (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` A ) _C (♯ ` A ) ) ) )
2	1	anidms 401	. 2 |- ( A e. Fin -> (♯ ` { f | f : A -1-1-> A } ) = ( ( ! ` (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` A ) _C (♯ ` A ) ) ) )
3		enrefg 7050	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> A ~~ A )
4		f1finf1o 7264	. . . . 5 |- ( ( A ~~ A /\ A e. Fin ) -> ( f : A -1-1-> A <-> f : A -1-1-onto-> A ) )
5	3, 4	mpancom 426	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( f : A -1-1-> A <-> f : A -1-1-onto-> A ) )
6	5	abbidv 2358	. . 3 |- ( A e. Fin -> { f | f : A -1-1-> A } = { f | f : A -1-1-onto-> A } )
7	6	fveq2d 5699	. 2 |- ( A e. Fin -> (♯ ` { f | f : A -1-1-> A } ) = (♯ ` { f | f : A -1-1-onto-> A } ) )
8		hashcl 11220	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
9		bcnn 11195	. . . . 5 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( (♯ ` A ) _C (♯ ` A ) ) = 1 )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) _C (♯ ` A ) ) = 1 )
11	10	oveq2d 6101	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( ! ` (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` A ) _C (♯ ` A ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` A ) ) x. 1 ) )
12	8	faccld 11174	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( ! ` (♯ ` A ) ) e. NN )
13	12	nncnd 9318	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( ! ` (♯ ` A ) ) e. CC )
14	13	mulridd 8343	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( ! ` (♯ ` A ) ) x. 1 ) = ( ! ` (♯ ` A ) ) )
15	11, 14	eqtrd 2271	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( ! ` (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` A ) _C (♯ ` A ) ) ) = ( ! ` (♯ ` A ) ) )
16	2, 7, 15	3eqtr3d 2279	1 |- ( A e. Fin -> (♯ ` { f | f : A -1-1-onto-> A } ) = ( ! ` (♯ ` A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   class class class wbr 4130   -1-1->wf1 5374   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ~~ cen 7020   Fincfn 7022   1c1 8180   x. cmul 8184   NN0cn0 9563   !cfa 11163   _C cbc 11185  ♯chash 11214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-fac 11164  df-bc 11186  df-ihash 11215

This theorem is used by: (None)