Theorem hashf1 11287

Description: The permutation number | A | ! x. ( | B | _C | A | ) = | B | ! / ( | B | - | A | ) ! counts the number of injections from A to B. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashf1	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` A ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem hashf1

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq2 5594	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( f : x -1-1-> B <-> f : (/) -1-1-> B ) )
2		f1fn 5600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : (/) -1-1-> B -> f Fn (/) )
3		fn0 5503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn (/) <-> f = (/) )
4	2, 3	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : (/) -1-1-> B -> f = (/) )
5		f10 5674	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) : (/) -1-1-> B
6		f1eq1 5593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = (/) -> ( f : (/) -1-1-> B <-> (/) : (/) -1-1-> B ) )
7	5, 6	mpbiri 168	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = (/) -> f : (/) -1-1-> B )
8	4, 7	impbii 126	. . . . . . . . . 10 |- ( f : (/) -1-1-> B <-> f = (/) )
9		velsn 3726	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. { (/) } <-> f = (/) )
10	8, 9	bitr4i 187	. . . . . . . . 9 |- ( f : (/) -1-1-> B <-> f e. { (/) } )
11	1, 10	bitrdi 196	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( f : x -1-1-> B <-> f e. { (/) } ) )
12	11	eqabcdv 2370	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> { f | f : x -1-1-> B } = { (/) } )
13	12	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = (♯ ` { (/) } ) )
14		0ex 4260	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
15		hashsng 11237	. . . . . . 7 |- ( (/) e. _V -> (♯ ` { (/) } ) = 1 )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (♯ ` { (/) } ) = 1
17	13, 16	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( x = (/) -> (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = 1 )
18		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> (♯ ` x ) = (♯ ` (/) ) )
19		hash0 11235	. . . . . . . . 9 |- (♯ ` (/) ) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> (♯ ` x ) = 0 )
21	20	fveq2d 5699	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ! ` (♯ ` x ) ) = ( ! ` 0 ) )
22		fac0 11166	. . . . . . 7 |- ( ! ` 0 ) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ! ` (♯ ` x ) ) = 1 )
24	20	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) = ( (♯ ` B ) _C 0 ) )
25	23, 24	oveq12d 6103	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ! ` (♯ ` x ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) ) = ( 1 x. ( (♯ ` B ) _C 0 ) ) )
26	17, 25	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` x ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) ) <-> 1 = ( 1 x. ( (♯ ` B ) _C 0 ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( B e. Fin -> (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` x ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) ) ) <-> ( B e. Fin -> 1 = ( 1 x. ( (♯ ` B ) _C 0 ) ) ) ) )
28		f1eq2 5594	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( f : x -1-1-> B <-> f : y -1-1-> B ) )
29	28	abbidv 2358	. . . . . 6 |- ( x = y -> { f | f : x -1-1-> B } = { f | f : y -1-1-> B } )
30	29	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( x = y -> (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = (♯ ` { f | f : y -1-1-> B } ) )
31		2fveq3 5700	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ! ` (♯ ` x ) ) = ( ! ` (♯ ` y ) ) )
32		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = y -> (♯ ` x ) = (♯ ` y ) )
33	32	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) = ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) )
34	31, 33	oveq12d 6103	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ! ` (♯ ` x ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) )
35	30, 34	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = y -> ( (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` x ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) ) <-> (♯ ` { f | f : y -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) ) )
36	35	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( B e. Fin -> (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` x ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) ) ) <-> ( B e. Fin -> (♯ ` { f | f : y -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) ) ) )
37		f1eq2 5594	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( f : x -1-1-> B <-> f : ( y u. { z } ) -1-1-> B ) )
38	37	abbidv 2358	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> { f | f : x -1-1-> B } = { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } )
39	38	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) )
40		2fveq3 5700	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ! ` (♯ ` x ) ) = ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) )
41		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> (♯ ` x ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
42	41	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) = ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) )
43	40, 42	oveq12d 6103	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ! ` (♯ ` x ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
44	39, 43	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` x ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) ) <-> (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) ) )
45	44	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( B e. Fin -> (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` x ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) ) ) <-> ( B e. Fin -> (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) ) ) )
46		f1eq2 5594	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-> B <-> f : A -1-1-> B ) )
47	46	abbidv 2358	. . . . . 6 |- ( x = A -> { f | f : x -1-1-> B } = { f | f : A -1-1-> B } )
48	47	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( x = A -> (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) )
49		2fveq3 5700	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ! ` (♯ ` x ) ) = ( ! ` (♯ ` A ) ) )
50		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = A -> (♯ ` x ) = (♯ ` A ) )
51	50	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) = ( (♯ ` B ) _C (♯ ` A ) ) )
52	49, 51	oveq12d 6103	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( ! ` (♯ ` x ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` A ) ) ) )
53	48, 52	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( x = A -> ( (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` x ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) ) <-> (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` A ) ) ) ) )
54	53	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. Fin -> (♯ ` { f | f : x -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` x ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` x ) ) ) ) <-> ( B e. Fin -> (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` A ) ) ) ) ) )
55		hashcl 11220	. . . . . 6 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
56		bcn0 11193	. . . . . 6 |- ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( (♯ ` B ) _C 0 ) = 1 )
57	55, 56	syl 14	. . . . 5 |- ( B e. Fin -> ( (♯ ` B ) _C 0 ) = 1 )
58	57	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( B e. Fin -> ( 1 x. ( (♯ ` B ) _C 0 ) ) = ( 1 x. 1 ) )
59		1t1e1 9457	. . . 4 |- ( 1 x. 1 ) = 1
60	58, 59	eqtr2di 2288	. . 3 |- ( B e. Fin -> 1 = ( 1 x. ( (♯ ` B ) _C 0 ) ) )
61		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` { f | f : y -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) x. (♯ ` { f | f : y -1-1-> B } ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) x. ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) ) )
62		simprl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> y e. Fin )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> y e. Fin )
64		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> B e. Fin )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> B e. Fin )
66		simplrr 542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> -. z e. y )
67		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) )
68	63, 65, 66, 67	hashf1lem2 11286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) x. (♯ ` { f | f : y -1-1-> B } ) ) )
69	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> (♯ ` B ) e. NN0 )
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> (♯ ` B ) e. NN0 )
71	70	faccld 11174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` (♯ ` B ) ) e. NN )
72	71	nncnd 9318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` (♯ ` B ) ) e. CC )
73		hashcl 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
74	73	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
76		peano2nn0 9603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (♯ ` y ) e. NN0 -> ( (♯ ` y ) + 1 ) e. NN0 )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` y ) + 1 ) e. NN0 )
78		nn0sub2 9718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (♯ ` y ) + 1 ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) e. NN0 /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) e. NN0 )
79	77, 70, 67, 78	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) e. NN0 )
80	79	faccld 11174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) e. NN )
81	80	nncnd 9318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) e. CC )
82	80	nnap0d 9350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) # 0 )
83	72, 81, 82	divclapd 9120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) e. CC )
84	77	faccld 11174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) e. NN )
85	84	nncnd 9318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) e. CC )
86	84	nnap0d 9350	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) # 0 )
87	83, 85, 86	divcanap2d 9122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) x. ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) / ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) )
88	70	nn0cnd 9622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> (♯ ` B ) e. CC )
89	75	nn0cnd 9622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> (♯ ` y ) e. CC )
90	88, 89	subcld 8637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) e. CC )
91		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
92		npcan 8535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) - 1 ) + 1 ) = ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) )
93	90, 91, 92	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) - 1 ) + 1 ) = ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) )
94		1cnd 8342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> 1 e. CC )
95	88, 89, 94	subsub4d 8668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) - 1 ) = ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
96	95, 79	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) - 1 ) e. NN0 )
97		nn0p1nn 9602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) - 1 ) e. NN0 -> ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) - 1 ) + 1 ) e. NN )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) - 1 ) + 1 ) e. NN )
99	93, 98	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) e. NN )
100	99	nnap0d 9350	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) # 0 )
101	83, 90, 100	divcanap2d 9122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) x. ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) / ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) )
102	87, 101	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) x. ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) / ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) x. ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) / ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) )
103		hashunsng 11248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
104	103	elv 2825	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
105	104	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
106	105	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
107	106	fveq2d 5699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
108		nn0uz 9957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
109	77, 108	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
110	70	nn0zd 9766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> (♯ ` B ) e. ZZ )
111		elfz5 10420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( (♯ ` y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ (♯ ` B ) e. ZZ ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) <-> ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) )
112	109, 110, 111	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) <-> ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) )
113	67, 112	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` y ) + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) )
114		bcval2 11188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (♯ ` y ) + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) _C ( (♯ ` y ) + 1 ) ) = ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) x. ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) )
115	113, 114	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) _C ( (♯ ` y ) + 1 ) ) = ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) x. ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) )
116	106	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( (♯ ` B ) _C ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
117	72, 81, 85, 82, 86	divdivap1d 9152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) / ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) x. ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) )
118	115, 116, 117	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) / ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) )
119	107, 118	oveq12d 6103	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) x. ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) / ( ! ` ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) )
120	75, 108	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> (♯ ` y ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
121		peano2fzr 10441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (♯ ` y ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) -> (♯ ` y ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) )
122	120, 113, 121	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> (♯ ` y ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) )
123		bcval2 11188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` y ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) = ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) x. ( ! ` (♯ ` y ) ) ) ) )
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) = ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) x. ( ! ` (♯ ` y ) ) ) ) )
125		elfzle2 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (♯ ` y ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) -> (♯ ` y ) <_ (♯ ` B ) )
126	122, 125	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> (♯ ` y ) <_ (♯ ` B ) )
127		nn0sub2 9718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (♯ ` y ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) e. NN0 /\ (♯ ` y ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) e. NN0 )
128	75, 70, 126, 127	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) e. NN0 )
129	128	faccld 11174	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) e. NN )
130	129	nncnd 9318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) e. CC )
131	75	faccld 11174	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` (♯ ` y ) ) e. NN )
132	131	nncnd 9318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` (♯ ` y ) ) e. CC )
133	129	nnap0d 9350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) # 0 )
134	131	nnap0d 9350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` (♯ ` y ) ) # 0 )
135	72, 130, 132, 133, 134	divdivap1d 9152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) / ( ! ` (♯ ` y ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) x. ( ! ` (♯ ` y ) ) ) ) )
136	124, 135	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) = ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) / ( ! ` (♯ ` y ) ) ) )
137	136	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) / ( ! ` (♯ ` y ) ) ) ) )
138		facnn2 11172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) e. NN -> ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) = ( ( ! ` ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) - 1 ) ) x. ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) )
139	99, 138	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) = ( ( ! ` ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) - 1 ) ) x. ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) )
140	95	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) - 1 ) ) = ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) )
141	140	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ! ` ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) - 1 ) ) x. ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) = ( ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) x. ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) )
142	139, 141	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) = ( ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) x. ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) )
143	142	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) x. ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) )
144	72, 130, 133	divclapd 9120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) e. CC )
145	144, 132, 134	divcanap2d 9122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) / ( ! ` (♯ ` y ) ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) )
146	72, 81, 90, 82, 100	divdivap1d 9152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) / ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) x. ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) )
147	143, 145, 146	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) / ( ! ` (♯ ` y ) ) ) ) = ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) / ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) )
148	137, 147	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) = ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) / ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) )
149	148	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) x. ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) x. ( ( ( ! ` (♯ ` B ) ) / ( ! ` ( (♯ ` B ) - ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) ) / ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) ) ) )
150	102, 119, 149	3eqtr4d 2281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) x. ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) ) )
151	68, 150	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) <-> ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) x. (♯ ` { f | f : y -1-1-> B } ) ) = ( ( (♯ ` B ) - (♯ ` y ) ) x. ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) ) ) )
152	61, 151	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) -> ( (♯ ` { f | f : y -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) -> (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) ) )
153		abn0m 3547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. w w e. { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } <-> E. f f : ( y u. { z } ) -1-1-> B )
154		f1domg 7044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. Fin -> ( f : ( y u. { z } ) -1-1-> B -> ( y u. { z } ) ~<_ B ) )
155	154	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( f : ( y u. { z } ) -1-1-> B -> ( y u. { z } ) ~<_ B ) )
156	105	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) <_ (♯ ` B ) <-> ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) ) )
157		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- z e. _V
158	157	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> z e. _V )
159		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> -. z e. y )
160		unsnfi 7226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. y ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
161	62, 158, 159, 160	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
162		fihashdom 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y u. { z } ) e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) <_ (♯ ` B ) <-> ( y u. { z } ) ~<_ B ) )
163	161, 64, 162	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) <_ (♯ ` B ) <-> ( y u. { z } ) ~<_ B ) )
164		nn0p1nn 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (♯ ` y ) e. NN0 -> ( (♯ ` y ) + 1 ) e. NN )
165	74, 164	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( (♯ ` y ) + 1 ) e. NN )
166	165	nnred 9317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( (♯ ` y ) + 1 ) e. RR )
167	69	nn0red 9621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> (♯ ` B ) e. RR )
168	166, 167	lenltd 8444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) <-> -. (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
169	156, 163, 168	3bitr3d 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( y u. { z } ) ~<_ B <-> -. (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
170	155, 169	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( f : ( y u. { z } ) -1-1-> B -> -. (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
171	170	exlimdv 1872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( E. f f : ( y u. { z } ) -1-1-> B -> -. (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
172	153, 171	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( E. w w e. { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } -> -. (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
173	172	con2d 633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) -> -. E. w w e. { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) )
174		notm0 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. w w e. { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } <-> { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } = (/) )
175	173, 174	imbitrdi 161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) -> { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } = (/) ) )
176	175	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } = (/) )
177	176	fveq2d 5699	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) = (♯ ` (/) ) )
178		hashcl 11220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y u. { z } ) e. Fin -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) e. NN0 )
179	161, 178	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) e. NN0 )
180	179	faccld 11174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) e. NN )
181	180	nncnd 9318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) e. CC )
182	181	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) e. CC )
183	182	mul01d 8720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. 0 ) = 0 )
184	19, 177, 183	3eqtr4a 2297	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. 0 ) )
185	105	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
186	185	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( (♯ ` B ) _C ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
187	69	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> (♯ ` B ) e. NN0 )
188	165	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> ( (♯ ` y ) + 1 ) e. NN )
189	188	nnzd 9767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> ( (♯ ` y ) + 1 ) e. ZZ )
190		animorr 836	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) < 0 \/ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
191		bcval4 11190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (♯ ` B ) e. NN0 /\ ( (♯ ` y ) + 1 ) e. ZZ /\ ( ( (♯ ` y ) + 1 ) < 0 \/ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) ) -> ( (♯ ` B ) _C ( (♯ ` y ) + 1 ) ) = 0 )
192	187, 189, 190, 191	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> ( (♯ ` B ) _C ( (♯ ` y ) + 1 ) ) = 0 )
193	186, 192	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = 0 )
194	193	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. 0 ) )
195	184, 194	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
196	195	a1d 22	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) -> ( (♯ ` { f | f : y -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) -> (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) ) )
197	165	nnzd 9767	. . . . . . 7 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( (♯ ` y ) + 1 ) e. ZZ )
198	69	nn0zd 9766	. . . . . . 7 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> (♯ ` B ) e. ZZ )
199		zlelttric 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ( (♯ ` y ) + 1 ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. ZZ ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) \/ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
200	197, 198, 199	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) <_ (♯ ` B ) \/ (♯ ` B ) < ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
201	152, 196, 200	mpjaodan 810	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( (♯ ` { f | f : y -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) -> (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) ) )
202	201	expcom 116	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( B e. Fin -> ( (♯ ` { f | f : y -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) -> (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) ) ) )
203	202	a2d 26	. . 3 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( B e. Fin -> (♯ ` { f | f : y -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` y ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` y ) ) ) ) -> ( B e. Fin -> (♯ ` { f | f : ( y u. { z } ) -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) ) ) )
204	27, 36, 45, 54, 60, 203	findcard2s 7194	. 2 |- ( A e. Fin -> ( B e. Fin -> (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` A ) ) ) ) )
205	204	imp 124	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> (♯ ` { f | f : A -1-1-> B } ) = ( ( ! ` (♯ ` A ) ) x. ( (♯ ` B ) _C (♯ ` A ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   u. cun 3218   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4130   Fn wfn 5372   -1-1->wf1 5374   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ~<_ cdom 7021   Fincfn 7022   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   / cdiv 9002   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411   !cfa 11163   _C cbc 11185  ♯chash 11214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-fac 11164  df-bc 11186  df-ihash 11215

This theorem is used by:  hashfac  11288  birthdaylem2  16088