Theorem iap0 9205

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8609	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 733	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 8019	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 8018	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8622	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 7967	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulid1i 8021	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 5929	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addid2i 8162	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2214	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9203	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 5929	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8160	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2214	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4058	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873  ici 7874   + caddc 7875   · cmul 7877   # cap 8600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601

This theorem is referenced by:  2muliap0  9206  irec  10710  iexpcyc  10715  imval  10994  imre  10995  reim  10996  crim  11002  cjreb  11010  tanval2ap  11856  tanval3ap  11857  efival  11875