Theorem iap0 8967

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8376	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 722	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 7790	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 7789	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8389	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 424	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 145	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 7739	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulid1i 7792	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 5793	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addid2i 7929	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2161	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 8965	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 5793	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 7927	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2161	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 3965	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645  ici 7646   + caddc 7647   · cmul 7649   # cap 8367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368

This theorem is referenced by:  2muliap0  8968  irec  10423  iexpcyc  10428  imval  10654  imre  10655  reim  10656  crim  10662  cjreb  10670  tanval2ap  11456  tanval3ap  11457  efival  11475