Theorem iap0 9214

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8617	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 733	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 8026	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 8025	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8630	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 7974	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulridi 8028	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 5933	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addlidi 8169	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2217	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9212	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 5933	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8167	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2217	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4062	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880  ici 7881   + caddc 7882   · cmul 7884   # cap 8608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609

This theorem is referenced by:  2muliap0  9215  irec  10731  iexpcyc  10736  imval  11015  imre  11016  reim  11017  crim  11023  cjreb  11031  tanval2ap  11878  tanval3ap  11879  efival  11897