Theorem iap0 9208

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8611	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 733	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 8021	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 8020	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8624	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 7969	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulid1i 8023	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 5930	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addid2i 8164	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2214	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9206	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 5930	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8162	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2214	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4059	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875  ici 7876   + caddc 7877   · cmul 7879   # cap 8602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603

This theorem is referenced by:  2muliap0  9209  irec  10713  iexpcyc  10718  imval  10997  imre  10998  reim  10999  crim  11005  cjreb  11013  tanval2ap  11859  tanval3ap  11860  efival  11878