Theorem iap0 9080

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8488	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 722	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 7899	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 7898	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8501	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 424	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 145	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 7848	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulid1i 7901	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 5853	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addid2i 8041	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2186	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9078	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 5853	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8039	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2186	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4011	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754  ici 7755   + caddc 7756   · cmul 7758   # cap 8479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480

This theorem is referenced by:  2muliap0  9081  irec  10554  iexpcyc  10559  imval  10792  imre  10793  reim  10794  crim  10800  cjreb  10808  tanval2ap  11654  tanval3ap  11655  efival  11673