Theorem iap0 9242

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8645	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 733	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 8054	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 8053	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8658	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 8002	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulridi 8056	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 5945	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addlidi 8197	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2225	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9240	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 5945	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8195	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2225	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4072	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934  ℝcr 7906  0cc0 7907  1c1 7908  ici 7909   + caddc 7910   · cmul 7912   # cap 8636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637

This theorem is referenced by:  2muliap0  9243  irec  10765  iexpcyc  10770  imval  11080  imre  11081  reim  11082  crim  11088  cjreb  11096  tanval2ap  11943  tanval3ap  11944  efival  11962