Theorem iap0 9345

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8748	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 737	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 8157	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 8156	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8761	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 8105	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulridi 8159	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 6018	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addlidi 8300	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2250	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9343	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 6018	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8298	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2250	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4112	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℝcr 8009  0cc0 8010  1c1 8011  ici 8012   + caddc 8013   · cmul 8015   # cap 8739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740

This theorem is referenced by:  2muliap0  9346  irec  10873  iexpcyc  10878  imval  11376  imre  11377  reim  11378  crim  11384  cjreb  11392  tanval2ap  12239  tanval3ap  12240  efival  12258