Theorem iap0 9280

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8683	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 734	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 8092	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 8091	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8696	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 8040	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulridi 8094	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 5968	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addlidi 8235	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2227	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9278	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 5968	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8233	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2227	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4080	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 710   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  ℝcr 7944  0cc0 7945  1c1 7946  ici 7947   + caddc 7948   · cmul 7950   # cap 8674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675

This theorem is referenced by:  2muliap0  9281  irec  10806  iexpcyc  10811  imval  11236  imre  11237  reim  11238  crim  11244  cjreb  11252  tanval2ap  12099  tanval3ap  12100  efival  12118