Theorem iap0 9366

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8769	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 739	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 8178	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 8177	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8782	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 8126	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulridi 8180	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 6028	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addlidi 8321	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2252	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9364	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 6028	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8319	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2252	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4117	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  0cc0 8031  1c1 8032  ici 8033   + caddc 8034   · cmul 8036   # cap 8760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761

This theorem is referenced by:  2muliap0  9367  irec  10900  iexpcyc  10905  imval  11410  imre  11411  reim  11412  crim  11418  cjreb  11426  tanval2ap  12273  tanval3ap  12274  efival  12292