Theorem iap0 9101

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8509	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 727	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 7920	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 7919	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8522	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 425	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 145	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 7869	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulid1i 7922	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 5864	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addid2i 8062	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2191	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9099	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 5864	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8060	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2191	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4018	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779   # cap 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501

This theorem is referenced by:  2muliap0  9102  irec  10575  iexpcyc  10580  imval  10814  imre  10815  reim  10816  crim  10822  cjreb  10830  tanval2ap  11676  tanval3ap  11677  efival  11695