Theorem iap0 9056

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8465	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 722	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 7878	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 7877	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8478	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 424	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 145	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 7827	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulid1i 7880	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 5835	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addid2i 8018	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2178	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9054	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 5835	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8016	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2178	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 3993	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824  ℝcr 7731  0cc0 7732  1c1 7733  ici 7734   + caddc 7735   · cmul 7737   # cap 8456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457

This theorem is referenced by:  2muliap0  9057  irec  10518  iexpcyc  10523  imval  10750  imre  10751  reim  10752  crim  10758  cjreb  10766  tanval2ap  11610  tanval3ap  11611  efival  11629