ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iap0 GIF version

Theorem iap0 8936
Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
iap0 i # 0

Proof of Theorem iap0
StepHypRef Expression
1 1ap0 8345 . . . 4 1 # 0
21olci 721 . . 3 (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3 0re 7759 . . . 4 0 ∈ ℝ
4 1re 7758 . . . 4 1 ∈ ℝ
5 apreim 8358 . . . 4 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
63, 4, 3, 3, 5mp4an 423 . . 3 ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
72, 6mpbir 145 . 2 (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8 ax-icn 7708 . . . . 5 i ∈ ℂ
98mulid1i 7761 . . . 4 (i · 1) = i
109oveq2i 5778 . . 3 (0 + (i · 1)) = (0 + i)
118addid2i 7898 . . 3 (0 + i) = i
1210, 11eqtri 2158 . 2 (0 + (i · 1)) = i
13 it0e0 8934 . . . 4 (i · 0) = 0
1413oveq2i 5778 . . 3 (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15 00id 7896 . . 3 (0 + 0) = 0
1614, 15eqtri 2158 . 2 (0 + (i · 0)) = 0
177, 12, 163brtr3i 3952 1 i # 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104  wo 697  wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  cr 7612  0cc0 7613  1c1 7614  ici 7615   + caddc 7616   · cmul 7618   # cap 8336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337
This theorem is referenced by:  2muliap0  8937  irec  10385  iexpcyc  10390  imval  10615  imre  10616  reim  10617  crim  10623  cjreb  10631  tanval2ap  11409  tanval3ap  11410  efival  11428
  Copyright terms: Public domain W3C validator