Theorem iap0 9142

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8547	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 732	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 7957	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 7956	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8560	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 7906	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulid1i 7959	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 5886	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addid2i 8100	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2198	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9140	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 5886	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8098	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2198	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4033	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812  ici 7813   + caddc 7814   · cmul 7816   # cap 8538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539

This theorem is referenced by:  2muliap0  9143  irec  10620  iexpcyc  10625  imval  10859  imre  10860  reim  10861  crim  10867  cjreb  10875  tanval2ap  11721  tanval3ap  11722  efival  11740