Theorem iap0 9507

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8908	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 744	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 8316	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 8315	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8921	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 431	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 8264	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulridi 8318	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 6086	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addlidi 8459	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2259	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9505	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 6086	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8457	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2259	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4154	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170  ici 8171   + caddc 8172   · cmul 8174   # cap 8899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900

This theorem is referenced by:  2muliap0  9508  irec  11054  iexpcyc  11059  imval  11593  imre  11594  reim  11595  crim  11601  cjreb  11609  tanval2ap  12458  tanval3ap  12459  efival  12477