Theorem iap0 9461

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8864	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 740	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 8274	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 8273	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8877	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 8222	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulridi 8276	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 6061	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addlidi 8416	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2253	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9459	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 6061	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8414	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2253	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4138	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℝcr 8126  0cc0 8127  1c1 8128  ici 8129   + caddc 8130   · cmul 8132   # cap 8855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856

This theorem is referenced by:  2muliap0  9462  irec  11001  iexpcyc  11006  imval  11535  imre  11536  reim  11537  crim  11543  cjreb  11551  tanval2ap  12399  tanval3ap  12400  efival  12418