Theorem iap0 8737

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8164	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 689	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 7585	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 7584	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8177	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 419	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 145	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 7537	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulid1i 7587	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 5701	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addid2i 7722	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2115	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 8735	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 5701	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 7720	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2115	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 3894	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 667   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  ℝcr 7446  0cc0 7447  1c1 7448  ici 7449   + caddc 7450   · cmul 7452   # cap 8155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-ltxr 7624  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156

This theorem is referenced by:  2muliap0  8738  irec  10185  iexpcyc  10190  imval  10415  imre  10416  reim  10417  crim  10423  cjreb  10431  tanval2ap  11169  tanval3ap  11170  efival  11188