Theorem iap0 9330

Description: The imaginary unit i is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iap0	⊢ i # 0

Proof of Theorem iap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ap0 8733	. . . 4 ⊢ 1 # 0
2	1	olci 737	. . 3 ⊢ (0 # 0 ∨ 1 # 0)
3		0re 8142	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		1re 8141	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		apreim 8746	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0)))
6	3, 4, 3, 3, 5	mp4an 427	. . 3 ⊢ ((0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0)) ↔ (0 # 0 ∨ 1 # 0))
7	2, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) # (0 + (i · 0))
8		ax-icn 8090	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	8	mulridi 8144	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
10	9	oveq2i 6011	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (0 + i)
11	8	addlidi 8285	. . 3 ⊢ (0 + i) = i
12	10, 11	eqtri 2250	. 2 ⊢ (0 + (i · 1)) = i
13		it0e0 9328	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
14	13	oveq2i 6011	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
15		00id 8283	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtri 2250	. 2 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
17	7, 12, 16	3brtr3i 4111	1 ⊢ i # 0

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℝcr 7994  0cc0 7995  1c1 7996  ici 7997   + caddc 7998   · cmul 8000   # cap 8724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725

This theorem is referenced by:  2muliap0  9331  irec  10856  iexpcyc  10861  imval  11356  imre  11357  reim  11358  crim  11364  cjreb  11372  tanval2ap  12219  tanval3ap  12220  efival  12238