Theorem 2logb9irrALT 14869

Description: Alternate proof of 2logb9irr 14866: The logarithm of nine to base two is not rational. (Contributed by AV, 31-Dec-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrALT	|- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )

Proof of Theorem 2logb9irrALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 10651	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
2	1	eqcomi 2193	. . . 4 |- 9 = ( 3 ^ 2 )
3	2	oveq2i 5908	. . 3 |- ( 2 logb 9 ) = ( 2 logb ( 3 ^ 2 ) )
4		2rp 9690	. . . . 5 |- 2 e. RR+
5		1re 7987	. . . . . 6 |- 1 e. RR
6		2re 9020	. . . . . 6 |- 2 e. RR
7		1lt2 9119	. . . . . 6 |- 1 < 2
8	5, 6, 7	gtapii 8622	. . . . 5 |- 2 # 1
9	4, 8	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 2 e. RR+ /\ 2 # 1 )
10		3rp 9691	. . . 4 |- 3 e. RR+
11		2z 9312	. . . 4 |- 2 e. ZZ
12		rplogbzexp 14849	. . . 4 |- ( ( ( 2 e. RR+ /\ 2 # 1 ) /\ 3 e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 2 logb ( 3 ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 2 logb 3 ) ) )
13	9, 10, 11, 12	mp3an 1348	. . 3 |- ( 2 logb ( 3 ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 2 logb 3 ) )
14	3, 13	eqtri 2210	. 2 |- ( 2 logb 9 ) = ( 2 x. ( 2 logb 3 ) )
15		2cn 9021	. . . 4 |- 2 e. CC
16		rplogbcl 14841	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR+ /\ 2 # 1 /\ 3 e. RR+ ) -> ( 2 logb 3 ) e. RR )
17	4, 8, 10, 16	mp3an 1348	. . . . 5 |- ( 2 logb 3 ) e. RR
18	17	recni 8000	. . . 4 |- ( 2 logb 3 ) e. CC
19	15, 18	mulcomi 7994	. . 3 |- ( 2 x. ( 2 logb 3 ) ) = ( ( 2 logb 3 ) x. 2 )
20		2logb3irr 14868	. . . 4 |- ( 2 logb 3 ) e. ( RR \ QQ )
21		zq 9658	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
22	11, 21	ax-mp 5	. . . 4 |- 2 e. QQ
23		2ne0 9042	. . . 4 |- 2 =/= 0
24		irrmul 9679	. . . 4 |- ( ( ( 2 logb 3 ) e. ( RR \ QQ ) /\ 2 e. QQ /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( 2 logb 3 ) x. 2 ) e. ( RR \ QQ ) )
25	20, 22, 23, 24	mp3an 1348	. . 3 |- ( ( 2 logb 3 ) x. 2 ) e. ( RR \ QQ )
26	19, 25	eqeltri 2262	. 2 |- ( 2 x. ( 2 logb 3 ) ) e. ( RR \ QQ )
27	14, 26	eqeltri 2262	1 |- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   \ cdif 3141   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843   x. cmul 7847   # cap 8569   2c2 9001   3c3 9002   9c9 9008   ZZcz 9284   QQcq 9651   RR+crp 9685   ^cexp 10553   log_b clogb 14838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962  ax-pre-suploc 7963  ax-addf 7964  ax-mulf 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-of 6107  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-2o 6443  df-oadd 6446  df-er 6560  df-map 6677  df-pm 6678  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-xneg 9804  df-xadd 9805  df-ioo 9924  df-ico 9926  df-icc 9927  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-fac 10741  df-bc 10763  df-ihash 10791  df-shft 10859  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397  df-ef 11691  df-e 11692  df-dvds 11830  df-gcd 11979  df-prm 12143  df-rest 12749  df-topgen 12768  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-met 13875  df-bl 13876  df-mopn 13877  df-top 13975  df-topon 13988  df-bases 14020  df-ntr 14073  df-cn 14165  df-cnp 14166  df-tx 14230  df-cncf 14535  df-limced 14602  df-dvap 14603  df-relog 14756  df-rpcxp 14757  df-logb 14839

This theorem is referenced by: (None)