Theorem irrmul 9985

Description: The product of a real which is not rational with a nonzero rational is not rational. Note that by "not rational" we mean the negation of "is rational" (whereas "irrational" is often defined to mean apart from any rational number - given excluded middle these two definitions would be equivalent). For a similar theorem with irrational in place of not rational, see irrmulap 9986. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
irrmul	⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem irrmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
2		qre 9963	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 8260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		qdivcl 9981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ)
7	6	3expb 1231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ)
8	7	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ))
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ))
10		recn 8265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		qcn 9972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		simp3 1026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
15		0z 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		zq 9964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℚ
18		qapne 9977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
19	17, 18	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
20	19	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
21	14, 20	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 # 0)
22	11, 13, 21	divcanap4d 9075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
23	22	3expb 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
24	23	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
25	9, 24	sylibd 149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
26	25	con3d 636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
27	26	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
28	27	com23 78	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
29	28	imp31 256	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
30	5, 29	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
31	30	3impb 1226	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
32	1, 31	syl3an1b 1310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
33		eldif 3222	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
34	32, 33	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   ∖ cdif 3210   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  ℝcr 8131  0cc0 8132   · cmul 8137   # cap 8860   / cdiv 8951  ℤcz 9582  ℚcq 9957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-q 9958

This theorem is referenced by:  2logb9irrALT  15888