Theorem irrmul 9721

Description: The product of a real which is not rational with a nonzero rational is not rational. Note that by "not rational" we mean the negation of "is rational" (whereas "irrational" is often defined to mean apart from any rational number - given excluded middle these two definitions would be equivalent). For a similar theorem with irrational in place of not rational, see irrmulap 9722. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
irrmul	⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem irrmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
2		qre 9699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 8007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		qdivcl 9717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ)
7	6	3expb 1206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ)
8	7	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ))
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ))
10		recn 8012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		qcn 9708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
15		0z 9337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		zq 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℚ
18		qapne 9713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
19	17, 18	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
20	19	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
21	14, 20	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 # 0)
22	11, 13, 21	divcanap4d 8823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
23	22	3expb 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
24	23	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
25	9, 24	sylibd 149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
26	25	con3d 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
27	26	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
28	27	com23 78	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
29	28	imp31 256	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
30	5, 29	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
31	30	3impb 1201	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
32	1, 31	syl3an1b 1285	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
33		eldif 3166	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
34	32, 33	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ∖ cdif 3154   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879   · cmul 7884   # cap 8608   / cdiv 8699  ℤcz 9326  ℚcq 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694

This theorem is referenced by:  2logb9irrALT  15210