ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  irrmul GIF version

Theorem irrmul 9647
Description: The product of a real which is not rational with a nonzero rational is not rational. Note that by "not rational" we mean the negation of "is rational" (whereas "irrational" is often defined to mean apart from any rational number - given excluded middle these two definitions would be equivalent). (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
irrmul ((๐ด โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š))

Proof of Theorem irrmul
StepHypRef Expression
1 eldif 3139 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š))
2 qre 9625 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 remulcl 7939 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
42, 3sylan2 286 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
54ad2ant2r 509 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
6 qdivcl 9643 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) โˆˆ โ„š)
763expb 1204 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) โˆˆ โ„š)
87expcom 116 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) โˆˆ โ„š))
98adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) โˆˆ โ„š))
10 recn 7944 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11103ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
12 qcn 9634 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
13123ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
14 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
15 0z 9264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โˆˆ โ„ค
16 zq 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„š)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โˆˆ โ„š
18 qapne 9639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ต # 0 โ†” ๐ต โ‰  0))
1917, 18mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ (๐ต # 0 โ†” ๐ต โ‰  0))
20193ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต # 0 โ†” ๐ต โ‰  0))
2114, 20mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต # 0)
2211, 13, 21divcanap4d 8753 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด)
23223expb 1204 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด)
2423eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) โˆˆ โ„š โ†” ๐ด โˆˆ โ„š))
259, 24sylibd 149 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š))
2625con3d 631 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š))
2726ex 115 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š)))
2827com23 78 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š)))
2928imp31 256 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š)
305, 29jca 306 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š))
31303impb 1199 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š) โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š))
321, 31syl3an1b 1274 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š))
33 eldif 3139 . 2 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„š))
3432, 33sylibr 134 1 ((๐ด โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347   โˆ– cdif 3127   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811   ยท cmul 7816   # cap 8538   / cdiv 8629  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-q 9620
This theorem is referenced by:  2logb9irrALT  14395
  Copyright terms: Public domain W3C validator