ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemininf Unicode version
Theorem lemininf 11260
Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
lemininf |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR , < ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )
Proof of Theorem lemininf
StepHypRef Expression
1 simp2 1000 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
2 simp3 1001 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
3 minmax 11256 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) = -u sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) )
41, 2, 3syl2anc 411 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) = -u sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) )
54breq2d 4030 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR , < ) <-> A <_ -u sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) ) )
61renegcld 8355 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> -u B e. RR )
72renegcld 8355 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> -u C e. RR )
8 maxcl 11237 . . . 4 |- ( ( -u B e. RR /\ -u C e. RR ) -> sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) e. RR )
96, 7, 8syl2anc 411 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) e. RR )
10 simp1 999 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
11 lenegcon2 8442 . . 3 |- ( ( sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) <_ -u A <-> A <_ -u sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) ) )
129, 10, 11syl2anc 411 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) <_ -u A <-> A <_ -u sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) ) )
1310renegcld 8355 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> -u A e. RR )
14 maxleastb 11241 . . . 4 |- ( ( -u B e. RR /\ -u C e. RR /\ -u A e. RR ) -> ( sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) <_ -u A <-> ( -u B <_ -u A /\ -u C <_ -u A ) ) )
156, 7, 13, 14syl3anc 1249 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) <_ -u A <-> ( -u B <_ -u A /\ -u C <_ -u A ) ) )
1610, 1lenegd 8499 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> -u B <_ -u A ) )
1710, 2lenegd 8499 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -u C <_ -u A ) )
1816, 17anbi12d 473 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ A <_ C ) <-> ( -u B <_ -u A /\ -u C <_ -u A ) ) )
1915, 18bitr4d 191 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) <_ -u A <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )
205, 12, 193bitr2d 216 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR , < ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cpr 3608   class class class wbr 4018   supcsup 6999  infcinf 7000   RRcr 7828   < clt 8010   <_ cle 8011   -ucneg 8147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-sup 7001  df-inf 7002  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-rp 9672  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026
This theorem is referenced by:  mul0inf  11267  pc2dvds  12347
  Copyright terms: Public domain W3C validator