Theorem lemininf 11234

Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
lemininf	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR , < ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Proof of Theorem lemininf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 998	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
2		simp3 999	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
3		minmax 11230	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) = -u sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) = -u sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) )
5	4	breq2d 4014	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR , < ) <-> A <_ -u sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) ) )
6	1	renegcld 8332	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> -u B e. RR )
7	2	renegcld 8332	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> -u C e. RR )
8		maxcl 11211	. . . 4 |- ( ( -u B e. RR /\ -u C e. RR ) -> sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) e. RR )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) e. RR )
10		simp1 997	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
11		lenegcon2 8419	. . 3 |- ( ( sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) <_ -u A <-> A <_ -u sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) ) )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) <_ -u A <-> A <_ -u sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) ) )
13	10	renegcld 8332	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> -u A e. RR )
14		maxleastb 11215	. . . 4 |- ( ( -u B e. RR /\ -u C e. RR /\ -u A e. RR ) -> ( sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) <_ -u A <-> ( -u B <_ -u A /\ -u C <_ -u A ) ) )
15	6, 7, 13, 14	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) <_ -u A <-> ( -u B <_ -u A /\ -u C <_ -u A ) ) )
16	10, 1	lenegd 8476	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> -u B <_ -u A ) )
17	10, 2	lenegd 8476	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -u C <_ -u A ) )
18	16, 17	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ A <_ C ) <-> ( -u B <_ -u A /\ -u C <_ -u A ) ) )
19	15, 18	bitr4d 191	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( sup ( { -u B , -u C } , RR , < ) <_ -u A <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )
20	5, 12, 19	3bitr2d 216	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ inf ( { B , C } , RR , < ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cpr 3593   class class class wbr 4002   supcsup 6977  infcinf 6978   RRcr 7806   < clt 7987   <_ cle 7988   -ucneg 8124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926  ax-caucvg 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-isom 5223  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-frec 6388  df-sup 6979  df-inf 6980  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-rp 9649  df-seqfrec 10440  df-exp 10514  df-cj 10843  df-re 10844  df-im 10845  df-rsqrt 10999  df-abs 11000

This theorem is referenced by:  mul0inf  11241  pc2dvds  12320