Theorem maxcl 11999

Description: The maximum of two real numbers is a real number. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
maxcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) e. RR )

Proof of Theorem maxcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxabs 11998	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = ( ( ( A + B ) + ( abs ` ( A - B ) ) ) / 2 ) )
2		readdcl 8311	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
3		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
4	3	recnd 8360	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. CC )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
6	5	recnd 8360	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. CC )
7	4, 6	subcld 8644	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. CC )
8	7	abscld 11970	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
9	2, 8	readdcld 8361	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) + ( abs ` ( A - B ) ) ) e. RR )
10	9	rehalfcld 9563	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) + ( abs ` ( A - B ) ) ) / 2 ) e. RR )
11	1, 10	eqeltrd 2315	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   {cpr 3710   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   supcsup 7328   RRcr 8184   + caddc 8188   < clt 8366   - cmin 8504   / cdiv 9010   2c2 9364   abscabs 11785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787

This theorem is used by:  maxleastb  12003  dfabsmax  12006  maxltsup  12007  rexanre  12009  rexico  12010  maxclpr  12011  rpmaxcl  12012  fimaxre2  12016  fiidxsupcl  12018  minmax  12020  mincl  12021  min1inf  12022  min2inf  12023  lemininf  12024  ltmininf  12025  minclpr  12027  mingeb  12033  xrmaxiflemcl  12036  xrmaxltsup  12049  xrminrecl  12064  xrminrpcl  12065  suplociccreex  15850  hovera  15873  hoverb  15874  hoverlt1  15875  hovergt0  15876  repiecelem  17280  repiecele0  17281