Theorem min2inf 11363

Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the second. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
min2inf	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) <_ B )

Proof of Theorem min2inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minmax 11360	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
3		renegcl 8270	. . . 4 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
4		renegcl 8270	. . . 4 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
5		maxcl 11341	. . . 4 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
7		maxle2 11343	. . . 4 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
8	3, 4, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
9	2, 6, 8	lenegcon1d 8536	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ B )
10	1, 9	eqbrtrd 4051	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   {cpr 3619   class class class wbr 4029   supcsup 7031  infcinf 7032   RRcr 7861   < clt 8044   <_ cle 8045   -ucneg 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980  ax-arch 7981  ax-caucvg 7982

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-isom 5255  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-sup 7033  df-inf 7034  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-rp 9710  df-seqfrec 10509  df-exp 10597  df-cj 10973  df-re 10974  df-im 10975  df-rsqrt 11129  df-abs 11130

This theorem is referenced by:  reccn2ap  11443  ssblex  14570  suplociccreex  14749  hoverlt1  14774  limcimolemlt  14789  limccnp2lem  14801