Theorem min2inf 11273

Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the second. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
min2inf	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) <_ B )

Proof of Theorem min2inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minmax 11270	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
3		renegcl 8248	. . . 4 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
4		renegcl 8248	. . . 4 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
5		maxcl 11251	. . . 4 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) e. RR )
7		maxle2 11253	. . . 4 |- ( ( -u A e. RR /\ -u B e. RR ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
8	3, 4, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u B <_ sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) )
9	2, 6, 8	lenegcon1d 8514	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u sup ( { -u A , -u B } , RR , < ) <_ B )
10	1, 9	eqbrtrd 4040	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   {cpr 3608   class class class wbr 4018   supcsup 7011  infcinf 7012   RRcr 7840   < clt 8022   <_ cle 8023   -ucneg 8159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-rp 9684  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040

This theorem is referenced by:  reccn2ap  11353  ssblex  14388  suplociccreex  14559  limcimolemlt  14590  limccnp2lem  14602