ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsmodeq Unicode version

Theorem lgsmodeq 14079
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction  mod  n when  n is odd. Theorem 9.9(c) in [ApostolNT] p. 188. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
lgsmodeq  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N ) )  ->  ( ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
)  ->  ( A  /L N )  =  ( B  /L
N ) ) )

Proof of Theorem lgsmodeq
StepHypRef Expression
1 3anass 982 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N ) ) )
21biimpri 133 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N ) )
323adant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N ) )
4 lgsmod 14060 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  /L N )  =  ( A  /L N ) )
53, 4syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N ) )  ->  ( ( A  mod  N )  /L N )  =  ( A  /L
N ) )
6 oveq1 5875 . . . 4  |-  ( ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N )  ->  ( ( A  mod  N )  /L N )  =  ( ( B  mod  N )  /L N ) )
75, 6sylan9req 2231 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  ( A  /L N )  =  ( ( B  mod  N )  /L N ) )
8 3anass 982 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  <->  ( B  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N ) ) )
98biimpri 133 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
) )  ->  ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N ) )
1093adant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N ) )  ->  ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N ) )
11 lgsmod 14060 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( B  mod  N )  /L N )  =  ( B  /L N ) )
1210, 11syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N ) )  ->  ( ( B  mod  N )  /L N )  =  ( B  /L
N ) )
1312adantr 276 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  (
( B  mod  N
)  /L N )  =  ( B  /L N ) )
147, 13eqtrd 2210 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  ( A  /L N )  =  ( B  /L N ) )
1514ex 115 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N ) )  ->  ( ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
)  ->  ( A  /L N )  =  ( B  /L
N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868   NNcn 8895   2c2 8946   ZZcz 9229    mod cmo 10295    || cdvds 11765    /Lclgs 14031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-frec 6385  df-1o 6410  df-2o 6411  df-oadd 6414  df-er 6528  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-sup 6976  df-inf 6977  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-5 8957  df-6 8958  df-7 8959  df-8 8960  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-fl 10243  df-mod 10296  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-ihash 10727  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258  df-proddc 11530  df-dvds 11766  df-gcd 11914  df-prm 12078  df-phi 12181  df-pc 12255  df-lgs 14032
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator