Theorem maxclpr 11258

Description: The maximum of two real numbers is one of those numbers if and only if dichotomy ( A <_ B \/ B <_ A) holds. For example, this can be combined with zletric 9322 if one is dealing with integers, but real number dichotomy in general does not follow from our axioms. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
maxclpr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( sup ( { A , B } , RR , < ) e. { A , B } <-> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )

Proof of Theorem maxclpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxcl 11246	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) e. RR )
2		elprg 3627	. . . 4 |- ( sup ( { A , B } , RR , < ) e. RR -> ( sup ( { A , B } , RR , < ) e. { A , B } <-> ( sup ( { A , B } , RR , < ) = A \/ sup ( { A , B } , RR , < ) = B ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( sup ( { A , B } , RR , < ) e. { A , B } <-> ( sup ( { A , B } , RR , < ) = A \/ sup ( { A , B } , RR , < ) = B ) ) )
4		maxleb 11252	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> sup ( { B , A } , RR , < ) = A ) )
5		maxcom 11239	. . . . . . 7 |- sup ( { B , A } , RR , < ) = sup ( { A , B } , RR , < )
6	5	eqeq1i 2197	. . . . . 6 |- ( sup ( { B , A } , RR , < ) = A <-> sup ( { A , B } , RR , < ) = A )
7	4, 6	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> sup ( { A , B } , RR , < ) = A ) )
8	7	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A <-> sup ( { A , B } , RR , < ) = A ) )
9		maxleb 11252	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> sup ( { A , B } , RR , < ) = B ) )
10	8, 9	orbi12d 794	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B <_ A \/ A <_ B ) <-> ( sup ( { A , B } , RR , < ) = A \/ sup ( { A , B } , RR , < ) = B ) ) )
11	3, 10	bitr4d 191	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( sup ( { A , B } , RR , < ) e. { A , B } <-> ( B <_ A \/ A <_ B ) ) )
12		orcom 729	. 2 |- ( ( B <_ A \/ A <_ B ) <-> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
13	11, 12	bitrdi 196	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( sup ( { A , B } , RR , < ) e. { A , B } <-> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cpr 3608   class class class wbr 4018   supcsup 7006   RRcr 7835   < clt 8017   <_ cle 8018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954  ax-arch 7955  ax-caucvg 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-sup 7008  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-rp 9679  df-seqfrec 10472  df-exp 10546  df-cj 10878  df-re 10879  df-im 10880  df-rsqrt 11034  df-abs 11035

This theorem is referenced by:  zmaxcl  11260  minclpr  11272  qtopbas  14459