Theorem metcnpd 12880

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous at point P. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcnpd.j	|- ( ph -> J = ( MetOpen ` C ) )
metcnpd.k	|- ( ph -> K = ( MetOpen ` D ) )
metcnpd.c	|- ( ph -> C e. ( *Met ` X ) )
metcnpd.d	|- ( ph -> D e. ( *Met ` Y ) )
metcnpd.p	|- ( ph -> P e. X )

Assertion

Ref	Expression
metcnpd	|- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, C, y, z   w, D, y, z   w, F, y, z   w, P, y, z   w, X, y, z   w, Y, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, w)   J( y, z, w)   K( y, z, w)

Proof of Theorem metcnpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcnpd.j	. . . . 5 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` C ) )
2		metcnpd.k	. . . . 5 |- ( ph -> K = ( MetOpen ` D ) )
3	1, 2	oveq12d 5836	. . . 4 |- ( ph -> ( J CnP K ) = ( ( MetOpen ` C ) CnP ( MetOpen ` D ) ) )
4	3	fveq1d 5467	. . 3 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` P ) = ( ( ( MetOpen ` C ) CnP ( MetOpen ` D ) ) ` P ) )
5	4	eleq2d 2227	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( ( MetOpen ` C ) CnP ( MetOpen ` D ) ) ` P ) ) )
6		metcnpd.c	. . 3 |- ( ph -> C e. ( *Met ` X ) )
7		metcnpd.d	. . 3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` Y ) )
8		metcnpd.p	. . 3 |- ( ph -> P e. X )
9		eqid 2157	. . . 4 |- ( MetOpen ` C ) = ( MetOpen ` C )
10		eqid 2157	. . . 4 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
11	9, 10	metcnp 12872	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` C ) CnP ( MetOpen ` D ) ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1220	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` C ) CnP ( MetOpen ` D ) ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
13	5, 12	bitrd 187	1 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   class class class wbr 3965   -->wf 5163   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   < clt 7895   RR+crp 9542   *Metcxmet 12340   MetOpencmopn 12345   CnP ccnp 12546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-map 6588  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-cnp 12549

This theorem is referenced by:  cnplimcim  12996  limccnpcntop  13004