Theorem metcnpd 14756

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous at point P. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcnpd.j	|- ( ph -> J = ( MetOpen ` C ) )
metcnpd.k	|- ( ph -> K = ( MetOpen ` D ) )
metcnpd.c	|- ( ph -> C e. ( *Met ` X ) )
metcnpd.d	|- ( ph -> D e. ( *Met ` Y ) )
metcnpd.p	|- ( ph -> P e. X )

Assertion

Ref	Expression
metcnpd	|- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, C, y, z   w, D, y, z   w, F, y, z   w, P, y, z   w, X, y, z   w, Y, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, w)   J( y, z, w)   K( y, z, w)

Proof of Theorem metcnpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcnpd.j	. . . . 5 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` C ) )
2		metcnpd.k	. . . . 5 |- ( ph -> K = ( MetOpen ` D ) )
3	1, 2	oveq12d 5940	. . . 4 |- ( ph -> ( J CnP K ) = ( ( MetOpen ` C ) CnP ( MetOpen ` D ) ) )
4	3	fveq1d 5560	. . 3 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` P ) = ( ( ( MetOpen ` C ) CnP ( MetOpen ` D ) ) ` P ) )
5	4	eleq2d 2266	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( ( MetOpen ` C ) CnP ( MetOpen ` D ) ) ` P ) ) )
6		metcnpd.c	. . 3 |- ( ph -> C e. ( *Met ` X ) )
7		metcnpd.d	. . 3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` Y ) )
8		metcnpd.p	. . 3 |- ( ph -> P e. X )
9		eqid 2196	. . . 4 |- ( MetOpen ` C ) = ( MetOpen ` C )
10		eqid 2196	. . . 4 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
11	9, 10	metcnp 14748	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` C ) CnP ( MetOpen ` D ) ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( ( ( MetOpen ` C ) CnP ( MetOpen ` D ) ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
13	5, 12	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( P C w ) < z -> ( ( F ` P ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   < clt 8061   RR+crp 9728   *Metcxmet 14092   MetOpencmopn 14097   CnP ccnp 14422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-cnp 14425

This theorem is referenced by:  cnplimcim  14903  limccnpcntop  14911