Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metcnpd GIF version

Theorem metcnpd 12764
 Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous at point 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
metcnpd.j (𝜑𝐽 = (MetOpen‘𝐶))
metcnpd.k (𝜑𝐾 = (MetOpen‘𝐷))
metcnpd.c (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
metcnpd.d (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
metcnpd.p (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
metcnpd (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐶,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑦,𝑧   𝑤,𝐹,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑤)   𝐽(𝑦,𝑧,𝑤)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem metcnpd
StepHypRef Expression
1 metcnpd.j . . . . 5 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘𝐶))
2 metcnpd.k . . . . 5 (𝜑𝐾 = (MetOpen‘𝐷))
31, 2oveq12d 5804 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 CnP 𝐾) = ((MetOpen‘𝐶) CnP (MetOpen‘𝐷)))
43fveq1d 5435 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) = (((MetOpen‘𝐶) CnP (MetOpen‘𝐷))‘𝑃))
54eleq2d 2211 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ (((MetOpen‘𝐶) CnP (MetOpen‘𝐷))‘𝑃)))
6 metcnpd.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 metcnpd.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
8 metcnpd.p . . 3 (𝜑𝑃𝑋)
9 eqid 2141 . . . 4 (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘𝐶)
10 eqid 2141 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
119, 10metcnp 12756 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘𝐶) CnP (MetOpen‘𝐷))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
126, 7, 8, 11syl3anc 1217 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘𝐶) CnP (MetOpen‘𝐷))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
135, 12bitrd 187 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2418  ∃wrex 2419   class class class wbr 3939  ⟶wf 5131  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786   < clt 7853  ℝ+crp 9499  ∞Metcxmet 12224  MetOpencmopn 12229   CnP ccnp 12430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791  ax-arch 7792  ax-caucvg 7793 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1738  df-eu 2004  df-mo 2005  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-isom 5144  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-frec 6300  df-map 6556  df-sup 6888  df-inf 6889  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-q 9468  df-rp 9500  df-xneg 9618  df-xadd 9619  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-topgen 12216  df-psmet 12231  df-xmet 12232  df-bl 12234  df-mopn 12235  df-top 12240  df-topon 12253  df-bases 12285  df-cnp 12433 This theorem is referenced by:  cnplimcim  12880  limccnpcntop  12888
 Copyright terms: Public domain W3C validator