Theorem modprminveq 12375

Description: The modular inverse of A mod P is unique. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
modprminv.1	|- R = ( ( A ^ ( P - 2 ) ) mod P )

Assertion

Ref	Expression
modprminveq	|- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( S e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) /\ ( ( A x. S ) mod P ) = 1 ) <-> S = R ) )

Proof of Theorem modprminveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10081	. . . . . . 7 |- ( S e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) -> S e. ZZ )
2		zmulcl 9360	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( A x. S ) e. ZZ )
3	1, 2	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ S e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( A x. S ) e. ZZ )
4		modprm1div 12372	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( A x. S ) e. ZZ ) -> ( ( ( A x. S ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( A x. S ) - 1 ) ) )
5	3, 4	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( A e. ZZ /\ S e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( A x. S ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( A x. S ) - 1 ) ) )
6	5	expr 375	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( S e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) -> ( ( ( A x. S ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( A x. S ) - 1 ) ) ) )
7	6	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( S e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) -> ( ( ( A x. S ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( A x. S ) - 1 ) ) ) )
8	7	pm5.32d 450	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( S e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) /\ ( ( A x. S ) mod P ) = 1 ) <-> ( S e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( A x. S ) - 1 ) ) ) )
9		modprminv.1	. . 3 |- R = ( ( A ^ ( P - 2 ) ) mod P )
10	9	prmdiveq 12361	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( S e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( A x. S ) - 1 ) ) <-> S = R ) )
11	8, 10	bitrd 188	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( S e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) /\ ( ( A x. S ) mod P ) = 1 ) <-> S = R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5910   0cc0 7862   1c1 7863   x. cmul 7867   - cmin 8180   2c2 9023   ZZcz 9307   ...cfz 10064   mod cmo 10383   ^cexp 10596   || cdvds 11917   Primecprime 12232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980  ax-arch 7981  ax-caucvg 7982

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-isom 5255  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-irdg 6414  df-frec 6435  df-1o 6460  df-2o 6461  df-oadd 6464  df-er 6578  df-en 6786  df-dom 6787  df-fin 6788  df-sup 7033  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-q 9675  df-rp 9710  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-fl 10329  df-mod 10384  df-seqfrec 10509  df-exp 10597  df-ihash 10834  df-cj 10973  df-re 10974  df-im 10975  df-rsqrt 11129  df-abs 11130  df-clim 11409  df-proddc 11681  df-dvds 11918  df-gcd 12067  df-prm 12233  df-phi 12336

This theorem is referenced by:  reumodprminv  12378