Theorem modq0 10698

Description: 𝐴 mod 𝐵 is zero iff 𝐴 is evenly divisible by 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))

Proof of Theorem modq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqval 10693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
2	1	eqeq1d 2243	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 0))
3		qcn 9972	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant1 1045	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		qcn 9972	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	3ad2ant2 1046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		simp3 1026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	7	gt0ne0d 8791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
9		qdivcl 9981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
10	8, 9	syld3an3 1319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
11	10	flqcld 10644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
12	11	zcnd 9707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
13	6, 12	mulcld 8299	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
14	4, 13	subeq0ad 8599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 0 ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
15	2, 14	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
16		qre 9963	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	3ad2ant2 1046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17, 7	gt0ap0d 8908	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 # 0)
19	4, 12, 6, 18	divmulap2d 9103	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
20		eqcom 2236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
21	19, 20	bitr3di 195	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵)))
22	15, 21	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵)))
23		flqidz 10653	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
24	10, 23	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
25	22, 24	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  ℝcr 8131  0cc0 8132   · cmul 8137   < clt 8313   − cmin 8449   / cdiv 8951  ℤcz 9582  ℚcq 9957  ⌊cfl 10635   mod cmo 10691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-q 9958  df-rp 9993  df-fl 10637  df-mod 10692

This theorem is referenced by:  mulqmod0  10699  negqmod0  10700  modqid0  10719  q2txmodxeq0  10753  addmodlteq  10767  dvdsval3  12485