Theorem modq0 10597

Description: 𝐴 mod 𝐵 is zero iff 𝐴 is evenly divisible by 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))

Proof of Theorem modq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqval 10592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
2	1	eqeq1d 2239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 0))
3		qcn 9873	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant1 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		qcn 9873	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	3ad2ant2 1045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		simp3 1025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	7	gt0ne0d 8697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
9		qdivcl 9882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
10	8, 9	syld3an3 1318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
11	10	flqcld 10543	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
12	11	zcnd 9608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
13	6, 12	mulcld 8205	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
14	4, 13	subeq0ad 8505	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 0 ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
15	2, 14	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
16		qre 9864	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	3ad2ant2 1045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17, 7	gt0ap0d 8814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 # 0)
19	4, 12, 6, 18	divmulap2d 9009	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ 𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
20		eqcom 2232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
21	19, 20	bitr3di 195	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵)))
22	15, 21	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵)))
23		flqidz 10552	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
24	10, 23	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
25	22, 24	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 mod 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ≠ wne 2401   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  ℝcr 8036  0cc0 8037   · cmul 8042   < clt 8219   − cmin 8355   / cdiv 8857  ℤcz 9484  ℚcq 9858  ⌊cfl 10534   mod cmo 10590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-q 9859  df-rp 9894  df-fl 10536  df-mod 10591

This theorem is referenced by:  mulqmod0  10598  negqmod0  10599  modqid0  10618  q2txmodxeq0  10652  addmodlteq  10666  dvdsval3  12375