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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modqexp | Unicode version |
Description: Exponentiation property of the modulo operation, see theorem 5.2(c) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.) |
Ref | Expression |
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modqexp.a |
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modqexp.b |
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modqexp.c |
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modqexp.dq |
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modqexp.dgt0 |
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modqexp.mod |
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Ref | Expression |
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modqexp |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | modqexp.c |
. 2
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2 | oveq2 5882 |
. . . . . 6
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3 | 2 | oveq1d 5889 |
. . . . 5
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4 | oveq2 5882 |
. . . . . 6
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5 | 4 | oveq1d 5889 |
. . . . 5
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6 | 3, 5 | eqeq12d 2192 |
. . . 4
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7 | 6 | imbi2d 230 |
. . 3
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8 | oveq2 5882 |
. . . . . 6
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9 | 8 | oveq1d 5889 |
. . . . 5
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10 | oveq2 5882 |
. . . . . 6
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11 | 10 | oveq1d 5889 |
. . . . 5
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12 | 9, 11 | eqeq12d 2192 |
. . . 4
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13 | 12 | imbi2d 230 |
. . 3
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14 | oveq2 5882 |
. . . . . 6
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15 | 14 | oveq1d 5889 |
. . . . 5
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16 | oveq2 5882 |
. . . . . 6
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17 | 16 | oveq1d 5889 |
. . . . 5
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18 | 15, 17 | eqeq12d 2192 |
. . . 4
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19 | 18 | imbi2d 230 |
. . 3
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20 | oveq2 5882 |
. . . . . 6
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21 | 20 | oveq1d 5889 |
. . . . 5
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22 | oveq2 5882 |
. . . . . 6
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23 | 22 | oveq1d 5889 |
. . . . 5
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24 | 21, 23 | eqeq12d 2192 |
. . . 4
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25 | 24 | imbi2d 230 |
. . 3
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26 | modqexp.a |
. . . . . . 7
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27 | 26 | zcnd 9374 |
. . . . . 6
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28 | exp0 10521 |
. . . . . 6
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29 | 27, 28 | syl 14 |
. . . . 5
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30 | modqexp.b |
. . . . . . 7
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31 | 30 | zcnd 9374 |
. . . . . 6
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32 | exp0 10521 |
. . . . . 6
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33 | 31, 32 | syl 14 |
. . . . 5
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34 | 29, 33 | eqtr4d 2213 |
. . . 4
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35 | 34 | oveq1d 5889 |
. . 3
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36 | zexpcl 10532 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 26, 36 | sylan 283 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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39 | zexpcl 10532 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 30, 39 | sylan 283 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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42 | 26 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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43 | 30 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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44 | modqexp.dq |
. . . . . . . . 9
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45 | 44 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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46 | modqexp.dgt0 |
. . . . . . . . 9
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47 | 46 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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48 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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49 | modqexp.mod |
. . . . . . . . 9
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50 | 49 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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51 | 38, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 50 | modqmul12d 10375 |
. . . . . . 7
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52 | 27 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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53 | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 53 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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55 | expp1 10524 |
. . . . . . . . 9
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56 | 52, 54, 55 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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57 | 56 | oveq1d 5889 |
. . . . . . 7
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58 | 31 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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59 | expp1 10524 |
. . . . . . . . 9
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60 | 58, 54, 59 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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61 | 60 | oveq1d 5889 |
. . . . . . 7
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62 | 51, 57, 61 | 3eqtr4d 2220 |
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63 | 62 | ex 115 |
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64 | 63 | expcom 116 |
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65 | 64 | a2d 26 |
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66 | 7, 13, 19, 25, 35, 65 | nn0ind 9365 |
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67 | 1, 66 | mpcom 36 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-frec 6391 df-pnf 7992 df-mnf 7993 df-xr 7994 df-ltxr 7995 df-le 7996 df-sub 8128 df-neg 8129 df-reap 8530 df-ap 8537 df-div 8628 df-inn 8918 df-n0 9175 df-z 9252 df-uz 9527 df-q 9618 df-rp 9652 df-fl 10267 df-mod 10320 df-seqfrec 10443 df-exp 10517 |
This theorem is referenced by: dvdsmodexp 11797 odzdvds 12239 lgsmod 14320 lgsne0 14332 |
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