Theorem modqexp 10905

Description: Exponentiation property of the modulo operation, see theorem 5.2(c) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqexp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modqexp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
modqexp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
modqexp.dq	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqexp.dgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqexp.mod	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
modqexp	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqexp

Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqexp.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
2		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑0))
3	2	oveq1d 6025	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑0) mod 𝐷))
4		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑0))
5	4	oveq1d 6025	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
6	3, 5	eqeq12d 2244	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷)))
7	6	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))))
8		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑘))
9	8	oveq1d 6025	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷))
10		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑘))
11	10	oveq1d 6025	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))
12	9, 11	eqeq12d 2244	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)))
13	12	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))))
14		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
15	14	oveq1d 6025	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
16		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
17	16	oveq1d 6025	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
18	15, 17	eqeq12d 2244	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
19	18	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
20		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝐶))
21	20	oveq1d 6025	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷))
22		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝐶))
23	22	oveq1d 6025	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))
24	21, 23	eqeq12d 2244	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷)))
25	24	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))))
26		modqexp.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 9586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28		exp0 10782	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
30		modqexp.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 9586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
32		exp0 10782	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
34	29, 33	eqtr4d 2265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = (𝐵↑0))
35	34	oveq1d 6025	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
36		zexpcl 10793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
37	26, 36	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
38	37	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
39		zexpcl 10793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
40	30, 39	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
42	26	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
43	30	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
44		modqexp.dq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℚ)
46		modqexp.dgt0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 0 < 𝐷)
48		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))
49		modqexp.mod	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
50	49	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
51	38, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 50	modqmul12d 10617	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) mod 𝐷) = (((𝐵↑𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
52	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54	53	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
55		expp1 10785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
56	52, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
57	56	oveq1d 6025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) mod 𝐷))
58	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
59		expp1 10785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
60	58, 54, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
61	60	oveq1d 6025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐵↑𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
62	51, 57, 61	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
63	62	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
64	63	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
65	64	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝜑 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
66	7, 13, 19, 25, 35, 65	nn0ind 9577	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷)))
67	1, 66	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  0cc0 8015  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020   < clt 8197  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462  ℚcq 9831   mod cmo 10561  ↑cexp 10777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778

This theorem is referenced by:  dvdsmodexp  12327  odzdvds  12789  lgsmod  15726  lgsne0  15738