ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqexp GIF version

Theorem modqexp 10632
Description: Exponentiation property of the modulo operation, see theorem 5.2(c) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
modqexp.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
modqexp.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
modqexp.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
modqexp.dq (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
modqexp.dgt0 (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqexp.mod (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
Assertion
Ref Expression
modqexp (𝜑 → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqexp
Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 modqexp.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
2 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑤 = 0 → (𝐴𝑤) = (𝐴↑0))
32oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑤 = 0 → ((𝐴𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑0) mod 𝐷))
4 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑤 = 0 → (𝐵𝑤) = (𝐵↑0))
54oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑤 = 0 → ((𝐵𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
63, 5eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑤 = 0 → (((𝐴𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷)))
76imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 0 → ((𝜑 → ((𝐴𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))))
8 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝑘))
98oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴𝑘) mod 𝐷))
10 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (𝐵𝑤) = (𝐵𝑘))
1110oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐵𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷))
129, 11eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)))
1312imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → ((𝐴𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷))))
14 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1514oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
16 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑤) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
1716oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐵𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
1815, 17eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
1918imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ((𝐴𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
20 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐶 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝐶))
2120oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑤 = 𝐶 → ((𝐴𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴𝐶) mod 𝐷))
22 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐶 → (𝐵𝑤) = (𝐵𝐶))
2322oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑤 = 𝐶 → ((𝐵𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))
2421, 23eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑤 = 𝐶 → (((𝐴𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷)))
2524imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝐶 → ((𝜑 → ((𝐴𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))))
26 modqexp.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2726zcnd 9365 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
28 exp0 10510 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2927, 28syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
30 modqexp.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3130zcnd 9365 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
32 exp0 10510 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
3331, 32syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
3429, 33eqtr4d 2213 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑0) = (𝐵↑0))
3534oveq1d 5884 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
36 zexpcl 10521 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
3726, 36sylan 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
3837adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
39 zexpcl 10521 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℤ)
4030, 39sylan 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℤ)
4140adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵𝑘) ∈ ℤ)
4226ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
4330ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
44 modqexp.dq . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
4544ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℚ)
46 modqexp.dgt0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝐷)
4746ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 0 < 𝐷)
48 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷))
49 modqexp.mod . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
5049ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
5138, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 50modqmul12d 10364 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (((𝐴𝑘) · 𝐴) mod 𝐷) = (((𝐵𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
5227ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
53 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5453adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
55 expp1 10513 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5652, 54, 55syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5756oveq1d 5884 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) mod 𝐷))
5831ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
59 expp1 10513 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
6058, 54, 59syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
6160oveq1d 5884 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐵𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
6251, 57, 613eqtr4d 2220 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
6362ex 115 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
6463expcom 116 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
6564a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝜑 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
667, 13, 19, 25, 35, 65nn0ind 9356 . 2 (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷)))
671, 66mpcom 36 1 (𝜑 → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  0cn0 9165  cz 9242  cq 9608   mod cmo 10308  cexp 10505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506
This theorem is referenced by:  dvdsmodexp  11786  odzdvds  12228  lgsmod  14094  lgsne0  14106
  Copyright terms: Public domain W3C validator