Theorem modqexp 10824

Description: Exponentiation property of the modulo operation, see theorem 5.2(c) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqexp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modqexp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
modqexp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
modqexp.dq	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqexp.dgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqexp.mod	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
modqexp	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqexp

Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqexp.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
2		oveq2 5962	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑0))
3	2	oveq1d 5969	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑0) mod 𝐷))
4		oveq2 5962	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑0))
5	4	oveq1d 5969	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
6	3, 5	eqeq12d 2221	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷)))
7	6	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))))
8		oveq2 5962	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑘))
9	8	oveq1d 5969	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷))
10		oveq2 5962	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑘))
11	10	oveq1d 5969	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))
12	9, 11	eqeq12d 2221	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)))
13	12	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))))
14		oveq2 5962	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
15	14	oveq1d 5969	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
16		oveq2 5962	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
17	16	oveq1d 5969	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
18	15, 17	eqeq12d 2221	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
19	18	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
20		oveq2 5962	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝐶))
21	20	oveq1d 5969	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷))
22		oveq2 5962	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝐶))
23	22	oveq1d 5969	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))
24	21, 23	eqeq12d 2221	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷)))
25	24	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))))
26		modqexp.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 9509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28		exp0 10701	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
30		modqexp.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 9509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
32		exp0 10701	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
34	29, 33	eqtr4d 2242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = (𝐵↑0))
35	34	oveq1d 5969	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
36		zexpcl 10712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
37	26, 36	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
38	37	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
39		zexpcl 10712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
40	30, 39	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
42	26	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
43	30	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
44		modqexp.dq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℚ)
46		modqexp.dgt0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 0 < 𝐷)
48		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))
49		modqexp.mod	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
50	49	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
51	38, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 50	modqmul12d 10536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) mod 𝐷) = (((𝐵↑𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
52	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54	53	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
55		expp1 10704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
56	52, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
57	56	oveq1d 5969	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) mod 𝐷))
58	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
59		expp1 10704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
60	58, 54, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
61	60	oveq1d 5969	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐵↑𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
62	51, 57, 61	3eqtr4d 2249	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
63	62	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
64	63	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
65	64	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝜑 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
66	7, 13, 19, 25, 35, 65	nn0ind 9500	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷)))
67	1, 66	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954  ℂcc 7936  0cc0 7938  1c1 7939   + caddc 7941   · cmul 7943   < clt 8120  ℕ₀cn0 9308  ℤcz 9385  ℚcq 9753   mod cmo 10480  ↑cexp 10696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-frec 6487  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fl 10426  df-mod 10481  df-seqfrec 10606  df-exp 10697

This theorem is referenced by:  dvdsmodexp  12156  odzdvds  12618  lgsmod  15553  lgsne0  15565