Theorem modqexp 10934

Description: Exponentiation property of the modulo operation, see theorem 5.2(c) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqexp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modqexp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
modqexp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
modqexp.dq	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqexp.dgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqexp.mod	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
modqexp	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqexp

Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqexp.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
2		oveq2 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑0))
3	2	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑0) mod 𝐷))
4		oveq2 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑0))
5	4	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
6	3, 5	eqeq12d 2245	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷)))
7	6	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))))
8		oveq2 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑘))
9	8	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷))
10		oveq2 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑘))
11	10	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))
12	9, 11	eqeq12d 2245	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)))
13	12	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))))
14		oveq2 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
15	14	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
16		oveq2 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
17	16	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
18	15, 17	eqeq12d 2245	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
19	18	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
20		oveq2 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝐶))
21	20	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷))
22		oveq2 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝐶))
23	22	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))
24	21, 23	eqeq12d 2245	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷)))
25	24	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))))
26		modqexp.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 9608	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28		exp0 10811	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
30		modqexp.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 9608	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
32		exp0 10811	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
34	29, 33	eqtr4d 2266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = (𝐵↑0))
35	34	oveq1d 6038	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
36		zexpcl 10822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
37	26, 36	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
38	37	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
39		zexpcl 10822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
40	30, 39	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
42	26	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
43	30	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
44		modqexp.dq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℚ)
46		modqexp.dgt0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 0 < 𝐷)
48		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))
49		modqexp.mod	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
50	49	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
51	38, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 50	modqmul12d 10646	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) mod 𝐷) = (((𝐵↑𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
52	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54	53	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
55		expp1 10814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
56	52, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
57	56	oveq1d 6038	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) mod 𝐷))
58	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
59		expp1 10814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
60	58, 54, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
61	60	oveq1d 6038	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐵↑𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
62	51, 57, 61	3eqtr4d 2273	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
63	62	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
64	63	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
65	64	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝜑 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
66	7, 13, 19, 25, 35, 65	nn0ind 9599	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷)))
67	1, 66	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037  1c1 8038   + caddc 8040   · cmul 8042   < clt 8219  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ℚcq 9858   mod cmo 10590  ↑cexp 10806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-exp 10807

This theorem is referenced by:  dvdsmodexp  12379  odzdvds  12841  lgsmod  15784  lgsne0  15796