ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqexp GIF version

Theorem modqexp 10646
Description: Exponentiation property of the modulo operation, see theorem 5.2(c) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
modqexp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
modqexp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
modqexp.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
modqexp.dq (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
modqexp.dgt0 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ท)
modqexp.mod (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท))
Assertion
Ref Expression
modqexp (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐ถ) mod ๐ท))

Proof of Theorem modqexp
Dummy variables ๐‘ค ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 modqexp.c . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
2 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐‘ค = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ค) = (๐ดโ†‘0))
32oveq1d 5889 . . . . 5 (๐‘ค = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ดโ†‘0) mod ๐ท))
4 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐‘ค = 0 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘ค) = (๐ตโ†‘0))
54oveq1d 5889 . . . . 5 (๐‘ค = 0 โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘0) mod ๐ท))
63, 5eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘ค = 0 โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) โ†” ((๐ดโ†‘0) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘0) mod ๐ท)))
76imbi2d 230 . . 3 (๐‘ค = 0 โ†’ ((๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ค) mod ๐ท)) โ†” (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘0) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘0) mod ๐ท))))
8 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ค) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
98oveq1d 5889 . . . . 5 (๐‘ค = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท))
10 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐‘˜ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘ค) = (๐ตโ†‘๐‘˜))
1110oveq1d 5889 . . . . 5 (๐‘ค = ๐‘˜ โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท))
129, 11eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘˜ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) โ†” ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)))
1312imbi2d 230 . . 3 (๐‘ค = ๐‘˜ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ค) mod ๐ท)) โ†” (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท))))
14 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐‘ค = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ค) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
1514oveq1d 5889 . . . . 5 (๐‘ค = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท))
16 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐‘ค = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘ค) = (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)))
1716oveq1d 5889 . . . . 5 (๐‘ค = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท))
1815, 17eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘ค = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) โ†” ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท)))
1918imbi2d 230 . . 3 (๐‘ค = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ค) mod ๐ท)) โ†” (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท))))
20 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐ถ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ค) = (๐ดโ†‘๐ถ))
2120oveq1d 5889 . . . . 5 (๐‘ค = ๐ถ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐ท))
22 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐ถ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘ค) = (๐ตโ†‘๐ถ))
2322oveq1d 5889 . . . . 5 (๐‘ค = ๐ถ โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐ถ) mod ๐ท))
2421, 23eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘ค = ๐ถ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) โ†” ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐ถ) mod ๐ท)))
2524imbi2d 230 . . 3 (๐‘ค = ๐ถ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ค) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ค) mod ๐ท)) โ†” (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐ถ) mod ๐ท))))
26 modqexp.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2726zcnd 9375 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
28 exp0 10523 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
2927, 28syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
30 modqexp.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
3130zcnd 9375 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
32 exp0 10523 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
3331, 32syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
3429, 33eqtr4d 2213 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘0) = (๐ตโ†‘0))
3534oveq1d 5889 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘0) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘0) mod ๐ท))
36 zexpcl 10534 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3726, 36sylan 283 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3837adantr 276 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
39 zexpcl 10534 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
4030, 39sylan 283 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
4140adantr 276 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
4226ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4330ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
44 modqexp.dq . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
4544ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„š)
46 modqexp.dgt0 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ท)
4746ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ 0 < ๐ท)
48 simpr 110 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท))
49 modqexp.mod . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท))
5049ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท))
5138, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 50modqmul12d 10377 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) mod ๐ท) = (((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต) mod ๐ท))
5227ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
53 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
5453adantr 276 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
55 expp1 10526 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
5652, 54, 55syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
5756oveq1d 5889 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) mod ๐ท))
5831ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
59 expp1 10526 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต))
6058, 54, 59syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต))
6160oveq1d 5889 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = (((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต) mod ๐ท))
6251, 57, 613eqtr4d 2220 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท))
6362ex 115 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท)))
6463expcom 116 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท))))
6564a2d 26 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท))))
667, 13, 19, 25, 35, 65nn0ind 9366 . 2 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐ถ) mod ๐ท)))
671, 66mpcom 36 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐ถ) mod ๐ท))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252  โ„šcq 9618   mod cmo 10321  โ†‘cexp 10518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519
This theorem is referenced by:  dvdsmodexp  11801  odzdvds  12244  lgsmod  14363  lgsne0  14375
  Copyright terms: Public domain W3C validator