Theorem modqexp 10758

Description: Exponentiation property of the modulo operation, see theorem 5.2(c) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqexp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modqexp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
modqexp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
modqexp.dq	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqexp.dgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqexp.mod	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
modqexp	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqexp

Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqexp.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
2		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑0))
3	2	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑0) mod 𝐷))
4		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑0))
5	4	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
6	3, 5	eqeq12d 2211	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷)))
7	6	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))))
8		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑘))
9	8	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷))
10		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑘))
11	10	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))
12	9, 11	eqeq12d 2211	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)))
13	12	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))))
14		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
15	14	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
16		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
17	16	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
18	15, 17	eqeq12d 2211	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
19	18	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
20		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝐶))
21	20	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷))
22		oveq2 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝐶))
23	22	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))
24	21, 23	eqeq12d 2211	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷)))
25	24	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))))
26		modqexp.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 9449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28		exp0 10635	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
30		modqexp.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 9449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
32		exp0 10635	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
34	29, 33	eqtr4d 2232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = (𝐵↑0))
35	34	oveq1d 5937	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
36		zexpcl 10646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
37	26, 36	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
38	37	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
39		zexpcl 10646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
40	30, 39	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
42	26	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
43	30	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
44		modqexp.dq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℚ)
46		modqexp.dgt0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 0 < 𝐷)
48		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))
49		modqexp.mod	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
50	49	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
51	38, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 50	modqmul12d 10470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) mod 𝐷) = (((𝐵↑𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
52	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
53		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54	53	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
55		expp1 10638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
56	52, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
57	56	oveq1d 5937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) mod 𝐷))
58	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
59		expp1 10638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
60	58, 54, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
61	60	oveq1d 5937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐵↑𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
62	51, 57, 61	3eqtr4d 2239	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
63	62	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
64	63	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
65	64	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝜑 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
66	7, 13, 19, 25, 35, 65	nn0ind 9440	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷)))
67	1, 66	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ℚcq 9693   mod cmo 10414  ↑cexp 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631

This theorem is referenced by:  dvdsmodexp  11960  odzdvds  12414  lgsmod  15267  lgsne0  15279