Theorem modqexp 10602

Description: Exponentiation property of the modulo operation, see theorem 5.2(c) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqexp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modqexp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
modqexp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
modqexp.dq	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqexp.dgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqexp.mod	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
modqexp	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqexp

Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqexp.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
2		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑0))
3	2	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑0) mod 𝐷))
4		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑0))
5	4	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
6	3, 5	eqeq12d 2185	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷)))
7	6	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))))
8		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑘))
9	8	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷))
10		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑘))
11	10	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))
12	9, 11	eqeq12d 2185	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)))
13	12	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))))
14		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
15	14	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
16		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
17	16	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
18	15, 17	eqeq12d 2185	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
19	18	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
20		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝐶))
21	20	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷))
22		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝐶))
23	22	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))
24	21, 23	eqeq12d 2185	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷)))
25	24	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑤) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑤) mod 𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))))
26		modqexp.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 9335	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28		exp0 10480	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
30		modqexp.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 9335	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
32		exp0 10480	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑0) = 1)
34	29, 33	eqtr4d 2206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = (𝐵↑0))
35	34	oveq1d 5868	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
36		zexpcl 10491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
37	26, 36	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
38	37	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
39		zexpcl 10491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
40	30, 39	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
41	40	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℤ)
42	26	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
43	30	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
44		modqexp.dq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
45	44	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℚ)
46		modqexp.dgt0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
47	46	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 0 < 𝐷)
48		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷))
49		modqexp.mod	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
50	49	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
51	38, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 50	modqmul12d 10334	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) mod 𝐷) = (((𝐵↑𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
52	27	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
53		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54	53	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
55		expp1 10483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
56	52, 54, 55	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
57	56	oveq1d 5868	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) mod 𝐷))
58	31	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
59		expp1 10483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
60	58, 54, 59	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
61	60	oveq1d 5868	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐵↑𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
62	51, 57, 61	3eqtr4d 2213	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
63	62	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
64	63	expcom 115	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
65	64	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ((𝐴↑𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝑘) mod 𝐷)) → (𝜑 → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
66	7, 13, 19, 25, 35, 65	nn0ind 9326	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷)))
67	1, 66	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵↑𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℚcq 9578   mod cmo 10278  ↑cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  dvdsmodexp  11757  odzdvds  12199  lgsmod  13721  lgsne0  13733