Theorem expge0 11012

Description: A nonnegative real raised to a nonnegative integer is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge0	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem expge0

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4134	. . . . 5 |- ( z = A -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ A ) )
2	1	elrab 2982	. . . 4 |- ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
3		ssrab2 3333	. . . . . . 7 |- { z e. RR | 0 <_ z } C_ RR
4		ax-resscn 8271	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3257	. . . . . 6 |- { z e. RR | 0 <_ z } C_ CC
6		breq2 4134	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ x ) )
7	6	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
8		breq2 4134	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ y ) )
9	8	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y ) )
10		remulcl 8307	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
11	10	ad2ant2r 513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
12		mulge0 8947	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> 0 <_ ( x x. y ) )
13		breq2 4134	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ ( x x. y ) ) )
14	13	elrab 2982	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( ( x x. y ) e. RR /\ 0 <_ ( x x. y ) ) )
15	11, 12, 14	sylanbrc 421	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
16	7, 9, 15	syl2anb 291	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ y e. { z e. RR | 0 <_ z } ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
17		1re 8325	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
18		0le1 8809	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
19		breq2 4134	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ 1 ) )
20	19	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) )
21	17, 18, 20	mpbir2an 955	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. RR | 0 <_ z }
22	5, 16, 21	expcllem 10987	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
23		breq2 4134	. . . . . . 7 |- ( z = ( A ^ N ) -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ ( A ^ N ) ) )
24	23	elrab 2982	. . . . . 6 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( ( A ^ N ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ N ) ) )
25	24	simprbi 275	. . . . 5 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } -> 0 <_ ( A ^ N ) )
26	22, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
27	2, 26	sylanbr 285	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
28	27	3impa 1225	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
29	28	3com23 1240	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   x. cmul 8184   <_ cle 8361   NN0cn0 9563   ^cexp 10975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-exp 10976

This theorem is used by:  leexp2r  11030  leexp1a  11031  expge0d  11129