Theorem expge0 10809

Description: A nonnegative real raised to a nonnegative integer is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge0	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem expge0

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4087	. . . . 5 |- ( z = A -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ A ) )
2	1	elrab 2959	. . . 4 |- ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
3		ssrab2 3309	. . . . . . 7 |- { z e. RR | 0 <_ z } C_ RR
4		ax-resscn 8102	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3233	. . . . . 6 |- { z e. RR | 0 <_ z } C_ CC
6		breq2 4087	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ x ) )
7	6	elrab 2959	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
8		breq2 4087	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ y ) )
9	8	elrab 2959	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y ) )
10		remulcl 8138	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
11	10	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
12		mulge0 8777	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> 0 <_ ( x x. y ) )
13		breq2 4087	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ ( x x. y ) ) )
14	13	elrab 2959	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( ( x x. y ) e. RR /\ 0 <_ ( x x. y ) ) )
15	11, 12, 14	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
16	7, 9, 15	syl2anb 291	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ y e. { z e. RR | 0 <_ z } ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
17		1re 8156	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
18		0le1 8639	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
19		breq2 4087	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ 1 ) )
20	19	elrab 2959	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) )
21	17, 18, 20	mpbir2an 948	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. RR | 0 <_ z }
22	5, 16, 21	expcllem 10784	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
23		breq2 4087	. . . . . . 7 |- ( z = ( A ^ N ) -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ ( A ^ N ) ) )
24	23	elrab 2959	. . . . . 6 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( ( A ^ N ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ N ) ) )
25	24	simprbi 275	. . . . 5 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } -> 0 <_ ( A ^ N ) )
26	22, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
27	2, 26	sylanbr 285	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
28	27	3impa 1218	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
29	28	3com23 1233	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   {crab 2512   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   x. cmul 8015   <_ cle 8193   NN0cn0 9380   ^cexp 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-seqfrec 10682  df-exp 10773

This theorem is referenced by:  leexp2r  10827  leexp1a  10828  expge0d  10925