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Theorem expge0 9956
Description: Nonnegative integer exponentiation with a nonnegative mantissa is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  0  <_  ( A ^ N
) )

Proof of Theorem expge0
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3841 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
0  <_  z  <->  0  <_  A ) )
21elrab 2769 . . . 4  |-  ( A  e.  { z  e.  RR  |  0  <_ 
z }  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
3 ssrab2 3104 . . . . . . 7  |-  { z  e.  RR  |  0  <_  z }  C_  RR
4 ax-resscn 7416 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3032 . . . . . 6  |-  { z  e.  RR  |  0  <_  z }  C_  CC
6 breq2 3841 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
0  <_  z  <->  0  <_  x ) )
76elrab 2769 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e.  RR  |  0  <_ 
z }  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
8 breq2 3841 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
0  <_  z  <->  0  <_  y ) )
98elrab 2769 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  0  <_ 
z }  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y ) )
10 remulcl 7449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
1110ad2ant2r 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )
)  ->  ( x  x.  y )  e.  RR )
12 mulge0 8072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )
)  ->  0  <_  ( x  x.  y ) )
13 breq2 3841 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  x.  y )  ->  (
0  <_  z  <->  0  <_  ( x  x.  y ) ) )
1413elrab 2769 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  y )  e.  { z  e.  RR  |  0  <_ 
z }  <->  ( (
x  x.  y )  e.  RR  /\  0  <_  ( x  x.  y
) ) )
1511, 12, 14sylanbrc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )
)  ->  ( x  x.  y )  e.  {
z  e.  RR  | 
0  <_  z }
)
167, 9, 15syl2anb 285 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  RR  |  0  <_  z }  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  0  <_ 
z } )  -> 
( x  x.  y
)  e.  { z  e.  RR  |  0  <_  z } )
17 1re 7466 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
18 0le1 7938 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
19 breq2 3841 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
0  <_  z  <->  0  <_  1 ) )
2019elrab 2769 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { z  e.  RR  |  0  <_ 
z }  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )
2117, 18, 20mpbir2an 888 . . . . . 6  |-  1  e.  { z  e.  RR  |  0  <_  z }
225, 16, 21expcllem 9931 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  { z  e.  RR  |  0  <_  z }  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  { z  e.  RR  |  0  <_  z } )
23 breq2 3841 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( A ^ N )  ->  (
0  <_  z  <->  0  <_  ( A ^ N ) ) )
2423elrab 2769 . . . . . 6  |-  ( ( A ^ N )  e.  { z  e.  RR  |  0  <_ 
z }  <->  ( ( A ^ N )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A ^ N
) ) )
2524simprbi 269 . . . . 5  |-  ( ( A ^ N )  e.  { z  e.  RR  |  0  <_ 
z }  ->  0  <_  ( A ^ N
) )
2622, 25syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  { z  e.  RR  |  0  <_  z }  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( A ^ N ) )
272, 26sylanbr 279 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( A ^ N ) )
28273impa 1138 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( A ^ N
) )
29283com23 1149 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  0  <_  ( A ^ N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    e. wcel 1438   {crab 2363   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    x. cmul 7334    <_ cle 7502   NN0cn0 8643   ^cexp 9919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920
This theorem is referenced by:  leexp2r  9974  leexp1a  9975  expge0d  10069
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