Theorem expge0 10718

Description: A nonnegative real raised to a nonnegative integer is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge0	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem expge0

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4047	. . . . 5 |- ( z = A -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ A ) )
2	1	elrab 2928	. . . 4 |- ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
3		ssrab2 3277	. . . . . . 7 |- { z e. RR | 0 <_ z } C_ RR
4		ax-resscn 8016	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3201	. . . . . 6 |- { z e. RR | 0 <_ z } C_ CC
6		breq2 4047	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ x ) )
7	6	elrab 2928	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
8		breq2 4047	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ y ) )
9	8	elrab 2928	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y ) )
10		remulcl 8052	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
11	10	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
12		mulge0 8691	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> 0 <_ ( x x. y ) )
13		breq2 4047	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ ( x x. y ) ) )
14	13	elrab 2928	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( ( x x. y ) e. RR /\ 0 <_ ( x x. y ) ) )
15	11, 12, 14	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
16	7, 9, 15	syl2anb 291	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ y e. { z e. RR | 0 <_ z } ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
17		1re 8070	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
18		0le1 8553	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
19		breq2 4047	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ 1 ) )
20	19	elrab 2928	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) )
21	17, 18, 20	mpbir2an 944	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. RR | 0 <_ z }
22	5, 16, 21	expcllem 10693	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
23		breq2 4047	. . . . . . 7 |- ( z = ( A ^ N ) -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ ( A ^ N ) ) )
24	23	elrab 2928	. . . . . 6 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( ( A ^ N ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ N ) ) )
25	24	simprbi 275	. . . . 5 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } -> 0 <_ ( A ^ N ) )
26	22, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
27	2, 26	sylanbr 285	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
28	27	3impa 1196	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
29	28	3com23 1211	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2175   {crab 2487   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   CCcc 7922   RRcr 7923   0cc0 7924   1c1 7925   x. cmul 7929   <_ cle 8107   NN0cn0 9294   ^cexp 10681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-seqfrec 10591  df-exp 10682

This theorem is referenced by:  leexp2r  10736  leexp1a  10737  expge0d  10834