Theorem mulgnn0gsum 13845

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a nonnegative integer expressed by a group sum. This corresponds to the definition in [Lang] p. 6, second formula. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnngsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnngsum.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnngsum.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0gsum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem mulgnn0gsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9498	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		mulgnngsum.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnngsum.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		mulgnngsum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
5	2, 3, 4	mulgnngsum 13844	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
6	5	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
7	2	basmex 13272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ V)
9		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
10	9	gsum0g 13609	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
11	8, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
12		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
13		fz10 10380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...0) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
15	14	mpteq1d 4195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑋))
16		mpt0 5486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑋) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) = ∅)
18	4, 17	eqtrid 2277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝐹 = ∅)
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 = ∅)
20	19	oveq2d 6066	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg ∅))
21		oveq1 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
22	2, 9, 3	mulg0 13842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
23	21, 22	sylan9eq 2285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
24	11, 20, 23	3eqtr4rd 2276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
25	24	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
26	6, 25	jaoi 724	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
27	1, 26	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
28	27	imp 124	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  ∅c0 3508   ↦ cmpt 4171  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  0cc0 8127  1c1 8128  ℕcn 9237  ℕ₀cn0 9496  ...cfz 10342  Basecbs 13212  0_gc0g 13469   Σ_g cgsu 13470  ._gcmg 13836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-seqfrec 10810  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-igsum 13472  df-minusg 13717  df-mulg 13837

This theorem is referenced by: (None)