Theorem mulgnn0gsum 13579

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a nonnegative integer expressed by a group sum. This corresponds to the definition in [Lang] p. 6, second formula. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnngsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnngsum.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnngsum.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0gsum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem mulgnn0gsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9332	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		mulgnngsum.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnngsum.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		mulgnngsum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
5	2, 3, 4	mulgnngsum 13578	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
6	5	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
7	2	basmex 13006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ V)
9		eqid 2207	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
10	9	gsum0g 13343	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
11	8, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
12		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
13		fz10 10203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...0) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
15	14	mpteq1d 4145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑋))
16		mpt0 5423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑋) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) = ∅)
18	4, 17	eqtrid 2252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝐹 = ∅)
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 = ∅)
20	19	oveq2d 5983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg ∅))
21		oveq1 5974	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
22	2, 9, 3	mulg0 13576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
23	21, 22	sylan9eq 2260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
24	11, 20, 23	3eqtr4rd 2251	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
25	24	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
26	6, 25	jaoi 718	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
27	1, 26	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
28	27	imp 124	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776  ∅c0 3468   ↦ cmpt 4121  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  0cc0 7960  1c1 7961  ℕcn 9071  ℕ₀cn0 9330  ...cfz 10165  Basecbs 12947  0_gc0g 13203   Σ_g cgsu 13204  ._gcmg 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-seqfrec 10630  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-igsum 13206  df-minusg 13451  df-mulg 13571

This theorem is referenced by: (None)