Theorem nnmaxpwlemparts 12977

Description: Lemma for nnmaxpw 12978. Decomposing a number into parts. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nnmaxpwlemparts	|- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) <-> ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, Y   z, B

Allowed substitution hint:   X( z)

Proof of Theorem nnmaxpwlemparts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 537	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) ) -> A = ( ( B ^ Y ) x. X ) )
2		eluz2nn 9982	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. NN )
3	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) ) -> B e. NN )
4		simprlr 544	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) ) -> Y e. NN0 )
5	3, 4	nnexpcld 11154	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) ) -> ( B ^ Y ) e. NN )
6		simplll 539	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) -> X e. NN )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) ) -> X e. NN )
8	5, 7	nnmulcld 9362	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) ) -> ( ( B ^ Y ) x. X ) e. NN )
9	1, 8	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) ) -> A e. NN )
10		simpl 109	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) ) -> B e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11		simpllr 540	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) -> -. B || X )
12	11	adantl 277	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) ) -> -. B || X )
13	7, 10, 12, 4, 1	nnmaxpwlemxy 12973	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) ) -> ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) )
14	9, 13	jca 306	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) ) -> ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) )
15		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> A e. NN )
16		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> B e. ( ZZ>= ` 2 ) )
17		simprrl 545	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) )
18		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) )
19		nnmaxpwlemdvds 12974	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) || A )
20		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. NN )
21	2	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. NN )
22		pwbdvdseu 12972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> E! z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) )
23		riotacl 6057	. . . . . . . . . . 11 |- ( E! z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) -> ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) e. NN0 )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) e. NN0 )
25	21, 24	nnexpcld 11154	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) e. NN )
26		nndivdvds 12588	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) e. NN ) -> ( ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) || A <-> ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) e. NN ) )
27	20, 25, 26	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) || A <-> ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) e. NN ) )
28	19, 27	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) e. NN )
29	28	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) e. NN )
30	18, 29	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> X e. NN )
31	15, 16, 17, 30	syl21anc 1277	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> X e. NN )
32		nnmaxpwlemnfac 12976	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. B || ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) )
33	15, 16, 32	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> -. B || ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) )
34		breq2 4135	. . . . . . 7 |- ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) -> ( B || X <-> B || ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) )
35	34	notbid 677	. . . . . 6 |- ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) -> ( -. B || X <-> -. B || ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) )
36	17, 35	syl 14	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> ( -. B || X <-> -. B || ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) )
37	33, 36	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> -. B || X )
38	31, 37	jca 306	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> ( X e. NN /\ -. B || X ) )
39		simprrr 546	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) )
40	15, 16, 24	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) e. NN0 )
41	39, 40	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> Y e. NN0 )
42	39	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> ( B ^ Y ) = ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) )
43	42, 17	oveq12d 6106	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> ( ( B ^ Y ) x. X ) = ( ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) x. ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) )
44	15	nncnd 9327	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> A e. CC )
45	15, 16, 25	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) e. NN )
46	45	nncnd 9327	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) e. CC )
47	45	nnap0d 9359	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) # 0 )
48	44, 46, 47	divcanap2d 9130	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> ( ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) x. ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) = A )
49	43, 48	eqtr2d 2272	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> A = ( ( B ^ Y ) x. X ) )
50	38, 41, 49	jca31 309	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) -> ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) )
51	14, 50	impbida 604	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( ( X e. NN /\ -. B || X ) /\ Y e. NN0 ) /\ A = ( ( B ^ Y ) x. X ) ) <-> ( A e. NN /\ ( X = ( A / ( B ^ ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) /\ Y = ( iota_ z e. NN0 ( ( B ^ z ) || A /\ -. ( B ^ ( z + 1 ) ) || A ) ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E!wreu 2530   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   iota_crio 6040  (class class class)co 6088   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   NN0cn0 9574   ZZ>=cuz 9937   ^cexp 10996   || cdvds 12579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-dvds 12580

This theorem is used by:  nnmaxpw  12978