Theorem prdsidlem 13149

Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsplusgcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsplusgcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsplusgcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsidlem.z	⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prdsidlem	⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem prdsidlem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsidlem.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
2		prdsplusgcl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
3	2	ffvelcdmda 5700	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Mnd)
4	3	elexd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ V)
5	2	feqmptd 5617	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅‘𝑦)))
6		fn0g 13077	. . . . . 6 ⊢ 0g Fn V
7		dffn5im 5609	. . . . . 6 ⊢ (0g Fn V → 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g‘𝑥)))
8	6, 7	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g‘𝑥)))
9		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑅‘𝑦) → (0g‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
10	4, 5, 8, 9	fmptco 5731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))))
11	1, 10	eqtrid 2241	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))))
12		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑦)) = (Base‘(𝑅‘𝑦))
13		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑦)) = (0g‘(𝑅‘𝑦))
14	12, 13	mndidcl 13132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
15	3, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
16	15	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
17		prdsplusgcl.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
18		prdsplusgcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
19		prdsplusgcl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
20		prdsplusgcl.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
21	2	ffnd 5411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
22	17, 18, 19, 20, 21	prdsbasmpt 12982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (0g‘(𝑅‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))))
23	16, 22	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (0g‘(𝑅‘𝑦))) ∈ 𝐵)
24	11, 23	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
25	1	fveq1i 5562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ‘𝑦) = ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦)
26		fvco2 5633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
27	21, 26	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
28	25, 27	eqtrid 2241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
29	28	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑦) = (0g‘(𝑅‘𝑦)))
30	29	oveq1d 5940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)))
31	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
32	31	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Mnd)
33	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
34	20	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
35	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
36		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐵)
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
38	17, 18, 33, 34, 35, 36, 37	prdsbasprj 12984	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
39		eqid 2196	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑦)) = (+g‘(𝑅‘𝑦))
40	12, 39, 13	mndlid 13137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
41	32, 38, 40	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((0g‘(𝑅‘𝑦))(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
42	30, 41	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
43	42	mpteq2dva 4124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
44	19	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝑉)
45	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
46	21	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
47	24	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
48		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
49		prdsplusgcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑌)
50	17, 18, 44, 45, 46, 47, 48, 49	prdsplusgval 12985	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (( 0 ‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(𝑥‘𝑦))))
51	17, 18, 44, 45, 46, 48	prdsbasfn 12983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
52		dffn5im 5609	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 Fn 𝐼 → 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
53	51, 52	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
54	43, 50, 53	3eqtr4d 2239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
55	29	oveq2d 5941	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦)) = ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))))
56	12, 39, 13	mndrid 13138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))) = (𝑥‘𝑦))
57	32, 38, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))(0g‘(𝑅‘𝑦))) = (𝑥‘𝑦))
58	55, 57	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦)) = (𝑥‘𝑦))
59	58	mpteq2dva 4124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑦)))
60	17, 18, 44, 45, 46, 48, 47, 49	prdsplusgval 12985	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑦)(+g‘(𝑅‘𝑦))( 0 ‘𝑦))))
61	59, 60, 53	3eqtr4d 2239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
62	54, 61	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
63	62	ralrimiva 2570	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
64	24, 63	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  Vcvv 2763   ↦ cmpt 4095   ∘ ccom 4668   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  0_gc0g 12958  X_scprds 12967  Mndcmnd 13118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-ixp 6767  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-fz 10101  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-hom 12804  df-cco 12805  df-rest 12943  df-topn 12944  df-0g 12960  df-topgen 12962  df-pt 12963  df-prds 12969  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119

This theorem is referenced by:  prdsmndd  13150  prds0g  13151