Theorem prltlu 7860

Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prltlu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐵 <Q 𝐶)

Proof of Theorem prltlu

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ 𝑈)
2		eleq1 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐶 ∈ 𝐿))
3		eleq1 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
4	2, 3	anbi12d 477	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)))
5	4	notbid 677	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)))
6		elinp 7847	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
7		simpr2 1035	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
8	6, 7	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
9	8	3ad2ant1 1049	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
10		elprnqu 7855	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ Q)
11	10	3adant2 1047	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ Q)
12	5, 9, 11	rspcdva 2934	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈))
13		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿))
14	13	notbii 678	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿))
15		imnan 701	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑈 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿) ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿))
16	14, 15	bitr4i 187	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿))
17	12, 16	sylib 122	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 ∈ 𝑈 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿))
18	1, 17	mpd 13	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿)
19		3simpa 1025	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿))
20		prubl 7859	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐿 → 𝐵 <Q 𝐶))
21	19, 11, 20	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐿 → 𝐵 <Q 𝐶))
22	18, 21	mpd 13	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐵 <Q 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131  Qcnq 7653   <_Q cltq 7658  Pcnp 7664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-mi 7679  df-lti 7680  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-ltnqqs 7726  df-inp 7839

This theorem is used by:  genpdisj  7896  prmuloc  7939  ltprordil  7962  ltpopr  7968  ltexprlemopu  7976  ltexprlemdisj  7979  ltexprlemfl  7982  ltexprlemfu  7984  ltexprlemru  7985  recexprlemdisj  8003  recexprlemss1l  8008  recexprlemss1u  8009