ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prltlu GIF version

Theorem prltlu 7449
Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prltlu ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → 𝐵 <Q 𝐶)

Proof of Theorem prltlu
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 994 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → 𝐶𝑈)
2 eleq1 2233 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝐶 → (𝑞𝐿𝐶𝐿))
3 eleq1 2233 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝐶 → (𝑞𝑈𝐶𝑈))
42, 3anbi12d 470 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞𝐿𝑞𝑈) ↔ (𝐶𝐿𝐶𝑈)))
54notbid 662 . . . . 5 (𝑞 = 𝐶 → (¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ↔ ¬ (𝐶𝐿𝐶𝑈)))
6 elinp 7436 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
7 simpr2 999 . . . . . . 7 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
86, 7sylbi 120 . . . . . 6 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
983ad2ant1 1013 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
10 elprnqu 7444 . . . . . 6 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → 𝐶Q)
11103adant2 1011 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → 𝐶Q)
125, 9, 11rspcdva 2839 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → ¬ (𝐶𝐿𝐶𝑈))
13 ancom 264 . . . . . 6 ((𝐶𝐿𝐶𝑈) ↔ (𝐶𝑈𝐶𝐿))
1413notbii 663 . . . . 5 (¬ (𝐶𝐿𝐶𝑈) ↔ ¬ (𝐶𝑈𝐶𝐿))
15 imnan 685 . . . . 5 ((𝐶𝑈 → ¬ 𝐶𝐿) ↔ ¬ (𝐶𝑈𝐶𝐿))
1614, 15bitr4i 186 . . . 4 (¬ (𝐶𝐿𝐶𝑈) ↔ (𝐶𝑈 → ¬ 𝐶𝐿))
1712, 16sylib 121 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → (𝐶𝑈 → ¬ 𝐶𝐿))
181, 17mpd 13 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → ¬ 𝐶𝐿)
19 3simpa 989 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿))
20 prubl 7448 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐿𝐵 <Q 𝐶))
2119, 11, 20syl2anc 409 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → (¬ 𝐶𝐿𝐵 <Q 𝐶))
2218, 21mpd 13 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → 𝐵 <Q 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  wss 3121  cop 3586   class class class wbr 3989  Qcnq 7242   <Q cltq 7247  Pcnp 7253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-lti 7269  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315  df-inp 7428
This theorem is referenced by:  genpdisj  7485  prmuloc  7528  ltprordil  7551  ltpopr  7557  ltexprlemopu  7565  ltexprlemdisj  7568  ltexprlemfl  7571  ltexprlemfu  7573  ltexprlemru  7574  recexprlemdisj  7592  recexprlemss1l  7597  recexprlemss1u  7598
  Copyright terms: Public domain W3C validator