Theorem prltlu 7549

Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prltlu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐵 <Q 𝐶)

Proof of Theorem prltlu

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1001	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ 𝑈)
2		eleq1 2256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐶 ∈ 𝐿))
3		eleq1 2256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)))
5	4	notbid 668	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)))
6		elinp 7536	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
7		simpr2 1006	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
8	6, 7	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
9	8	3ad2ant1 1020	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
10		elprnqu 7544	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ Q)
11	10	3adant2 1018	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ Q)
12	5, 9, 11	rspcdva 2870	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈))
13		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿))
14	13	notbii 669	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿))
15		imnan 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑈 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿) ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿))
16	14, 15	bitr4i 187	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿))
17	12, 16	sylib 122	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 ∈ 𝑈 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿))
18	1, 17	mpd 13	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿)
19		3simpa 996	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿))
20		prubl 7548	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐿 → 𝐵 <Q 𝐶))
21	19, 11, 20	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐿 → 𝐵 <Q 𝐶))
22	18, 21	mpd 13	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐵 <Q 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3154  ⟨cop 3622   class class class wbr 4030  Qcnq 7342   <_Q cltq 7347  Pcnp 7353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-mi 7368  df-lti 7369  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-ltnqqs 7415  df-inp 7528

This theorem is referenced by:  genpdisj  7585  prmuloc  7628  ltprordil  7651  ltpopr  7657  ltexprlemopu  7665  ltexprlemdisj  7668  ltexprlemfl  7671  ltexprlemfu  7673  ltexprlemru  7674  recexprlemdisj  7692  recexprlemss1l  7697  recexprlemss1u  7698