Theorem prltlu 7428

Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prltlu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐵 <Q 𝐶)

Proof of Theorem prltlu

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 989	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ 𝑈)
2		eleq1 2229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐶 ∈ 𝐿))
3		eleq1 2229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
4	2, 3	anbi12d 465	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)))
5	4	notbid 657	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)))
6		elinp 7415	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
7		simpr2 994	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
8	6, 7	sylbi 120	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
9	8	3ad2ant1 1008	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
10		elprnqu 7423	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ Q)
11	10	3adant2 1006	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ Q)
12	5, 9, 11	rspcdva 2835	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈))
13		ancom 264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿))
14	13	notbii 658	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿))
15		imnan 680	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑈 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿) ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿))
16	14, 15	bitr4i 186	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿))
17	12, 16	sylib 121	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 ∈ 𝑈 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿))
18	1, 17	mpd 13	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿)
19		3simpa 984	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿))
20		prubl 7427	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐿 → 𝐵 <Q 𝐶))
21	19, 11, 20	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐿 → 𝐵 <Q 𝐶))
22	18, 21	mpd 13	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐵 <Q 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   ⊆ wss 3116  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982  Qcnq 7221   <_Q cltq 7226  Pcnp 7232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-mi 7247  df-lti 7248  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-ltnqqs 7294  df-inp 7407

This theorem is referenced by:  genpdisj  7464  prmuloc  7507  ltprordil  7530  ltpopr  7536  ltexprlemopu  7544  ltexprlemdisj  7547  ltexprlemfl  7550  ltexprlemfu  7552  ltexprlemru  7553  recexprlemdisj  7571  recexprlemss1l  7576  recexprlemss1u  7577