Theorem prltlu 7670

Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prltlu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐵 <Q 𝐶)

Proof of Theorem prltlu

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1023	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ 𝑈)
2		eleq1 2292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐶 ∈ 𝐿))
3		eleq1 2292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (𝑞 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)))
5	4	notbid 671	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐶 → (¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)))
6		elinp 7657	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
7		simpr2 1028	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
8	6, 7	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
9	8	3ad2ant1 1042	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
10		elprnqu 7665	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ Q)
11	10	3adant2 1040	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ Q)
12	5, 9, 11	rspcdva 2912	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈))
13		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿))
14	13	notbii 672	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿))
15		imnan 694	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑈 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿) ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐿))
16	14, 15	bitr4i 187	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿))
17	12, 16	sylib 122	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐶 ∈ 𝑈 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿))
18	1, 17	mpd 13	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐿)
19		3simpa 1018	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿))
20		prubl 7669	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐿 → 𝐵 <Q 𝐶))
21	19, 11, 20	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐿 → 𝐵 <Q 𝐶))
22	18, 21	mpd 13	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐵 <Q 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082  Qcnq 7463   <_Q cltq 7468  Pcnp 7474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-mi 7489  df-lti 7490  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-ltnqqs 7536  df-inp 7649

This theorem is referenced by:  genpdisj  7706  prmuloc  7749  ltprordil  7772  ltpopr  7778  ltexprlemopu  7786  ltexprlemdisj  7789  ltexprlemfl  7792  ltexprlemfu  7794  ltexprlemru  7795  recexprlemdisj  7813  recexprlemss1l  7818  recexprlemss1u  7819