ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prltlu GIF version

Theorem prltlu 6993
Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prltlu ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → 𝐵 <Q 𝐶)

Proof of Theorem prltlu
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 943 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → 𝐶𝑈)
2 eleq1 2147 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝐶 → (𝑞𝐿𝐶𝐿))
3 eleq1 2147 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝐶 → (𝑞𝑈𝐶𝑈))
42, 3anbi12d 457 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐶 → ((𝑞𝐿𝑞𝑈) ↔ (𝐶𝐿𝐶𝑈)))
54notbid 625 . . . . 5 (𝑞 = 𝐶 → (¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ↔ ¬ (𝐶𝐿𝐶𝑈)))
6 elinp 6980 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
7 simpr2 948 . . . . . . 7 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
86, 7sylbi 119 . . . . . 6 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
983ad2ant1 962 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
10 elprnqu 6988 . . . . . 6 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐶𝑈) → 𝐶Q)
11103adant2 960 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → 𝐶Q)
125, 9, 11rspcdva 2720 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → ¬ (𝐶𝐿𝐶𝑈))
13 ancom 262 . . . . . 6 ((𝐶𝐿𝐶𝑈) ↔ (𝐶𝑈𝐶𝐿))
1413notbii 627 . . . . 5 (¬ (𝐶𝐿𝐶𝑈) ↔ ¬ (𝐶𝑈𝐶𝐿))
15 imnan 657 . . . . 5 ((𝐶𝑈 → ¬ 𝐶𝐿) ↔ ¬ (𝐶𝑈𝐶𝐿))
1614, 15bitr4i 185 . . . 4 (¬ (𝐶𝐿𝐶𝑈) ↔ (𝐶𝑈 → ¬ 𝐶𝐿))
1712, 16sylib 120 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → (𝐶𝑈 → ¬ 𝐶𝐿))
181, 17mpd 13 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → ¬ 𝐶𝐿)
19 3simpa 938 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿))
20 prubl 6992 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐿𝐵 <Q 𝐶))
2119, 11, 20syl2anc 403 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → (¬ 𝐶𝐿𝐵 <Q 𝐶))
2218, 21mpd 13 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿𝐶𝑈) → 𝐵 <Q 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  wrex 2356  wss 2988  cop 3434   class class class wbr 3822  Qcnq 6786   <Q cltq 6791  Pcnp 6797
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-eprel 4092  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-irdg 6091  df-oadd 6141  df-omul 6142  df-er 6246  df-ec 6248  df-qs 6252  df-ni 6810  df-mi 6812  df-lti 6813  df-enq 6853  df-nqqs 6854  df-ltnqqs 6859  df-inp 6972
This theorem is referenced by:  genpdisj  7029  prmuloc  7072  ltprordil  7095  ltpopr  7101  ltexprlemopu  7109  ltexprlemdisj  7112  ltexprlemfl  7115  ltexprlemfu  7117  ltexprlemru  7118  recexprlemdisj  7136  recexprlemss1l  7141  recexprlemss1u  7142
  Copyright terms: Public domain W3C validator