Theorem prmuloc 7779

Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prmuloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑢   𝐵,𝑑,𝑢   𝐿,𝑑,𝑢   𝑈,𝑑,𝑢

Proof of Theorem prmuloc

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexnqi 7622	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
3		prml 7690	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝐿)
4	3	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝐿)
5		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝑟 ∈ Q)
6		simplrl 535	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝑥 ∈ Q)
7		mulclnq 7589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑟 ·Q 𝑥) ∈ Q)
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → (𝑟 ·Q 𝑥) ∈ Q)
9		ltrelnq 7578	. . . . . . . 8 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
10	9	brel 4776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
11	10	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
12	11	ad3antlr 493	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝐵 ∈ Q)
13		appdiv0nq 7777	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 ·Q 𝑥) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))
14	8, 12, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))
15		prarloc 7716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
16	15	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
17	16	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
18	17	ad2ant2r 509	. . . . . . 7 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
19		r2ex 2550	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝) ↔ ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)))
20	18, 19	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)))
21		elprnql 7694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
22	21	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
23	22	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
24	23	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
25	24	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ Q)
26	25	adantrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑑 ∈ Q)
27		simplll 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
29		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈))
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑢 ∈ 𝑈)
31		elprnqu 7695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ Q)
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑢 ∈ Q)
33		prltlu 7700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q 𝑢)
34	33	3adant1r 1255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q 𝑢)
35	34	3adant2l 1256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q 𝑢)
36	35	3adant3l 1258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q 𝑢)
37	36	3adant1r 1255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q 𝑢)
38	37	3expa 1227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q 𝑢)
39	38	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑟 <Q 𝑢)
40		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
41		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
42	41	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
43		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))
44	10	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
45	44	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ Q)
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝐴 ∈ Q)
47	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝐵 ∈ Q)
48		simplrl 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑝 ∈ Q)
49	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑥 ∈ Q)
50	39, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49	prmuloclemcalc 7778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))
51		df-3an 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
52	29, 50, 51	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
53	26, 32, 52	jca31 309	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → ((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))))
54	53	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → (((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)) → ((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))))
55	54	2eximdv 1928	. . . . . 6 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → (∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)) → ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))))
56	20, 55	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))))
57		r2ex 2550	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)) ↔ ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))))
58	56, 57	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
59	14, 58	rexlimddv 2653	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
60	4, 59	rexlimddv 2653	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
61	2, 60	rexlimddv 2653	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  Qcnq 7493   +_Q cplq 7495   ·_Q cmq 7496   <_Q cltq 7498  Pcnp 7504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7517  df-pli 7518  df-mi 7519  df-lti 7520  df-plpq 7557  df-mpq 7558  df-enq 7560  df-nqqs 7561  df-plqqs 7562  df-mqqs 7563  df-1nqqs 7564  df-rq 7565  df-ltnqqs 7566  df-enq0 7637  df-nq0 7638  df-0nq0 7639  df-plq0 7640  df-mq0 7641  df-inp 7679

This theorem is referenced by:  prmuloc2  7780  mullocpr  7784