Theorem prmuloc 7721

Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prmuloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑢   𝐵,𝑑,𝑢   𝐿,𝑑,𝑢   𝑈,𝑑,𝑢

Proof of Theorem prmuloc

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexnqi 7564	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
3		prml 7632	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝐿)
4	3	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝐿)
5		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝑟 ∈ Q)
6		simplrl 535	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝑥 ∈ Q)
7		mulclnq 7531	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑟 ·Q 𝑥) ∈ Q)
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → (𝑟 ·Q 𝑥) ∈ Q)
9		ltrelnq 7520	. . . . . . . 8 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
10	9	brel 4748	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
11	10	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
12	11	ad3antlr 493	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝐵 ∈ Q)
13		appdiv0nq 7719	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 ·Q 𝑥) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))
14	8, 12, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))
15		prarloc 7658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
16	15	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
17	16	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
18	17	ad2ant2r 509	. . . . . . 7 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
19		r2ex 2530	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝) ↔ ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)))
20	18, 19	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)))
21		elprnql 7636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
22	21	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
23	22	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
24	23	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
25	24	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ Q)
26	25	adantrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑑 ∈ Q)
27		simplll 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
29		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈))
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑢 ∈ 𝑈)
31		elprnqu 7637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ Q)
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑢 ∈ Q)
33		prltlu 7642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q 𝑢)
34	33	3adant1r 1236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q 𝑢)
35	34	3adant2l 1237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q 𝑢)
36	35	3adant3l 1239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q 𝑢)
37	36	3adant1r 1236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q 𝑢)
38	37	3expa 1208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q 𝑢)
39	38	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑟 <Q 𝑢)
40		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
41		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
42	41	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
43		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))
44	10	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
45	44	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ Q)
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝐴 ∈ Q)
47	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝐵 ∈ Q)
48		simplrl 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑝 ∈ Q)
49	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑥 ∈ Q)
50	39, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49	prmuloclemcalc 7720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))
51		df-3an 985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
52	29, 50, 51	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
53	26, 32, 52	jca31 309	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → ((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))))
54	53	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → (((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)) → ((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))))
55	54	2eximdv 1908	. . . . . 6 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → (∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)) → ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))))
56	20, 55	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))))
57		r2ex 2530	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)) ↔ ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))))
58	56, 57	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
59	14, 58	rexlimddv 2633	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
60	4, 59	rexlimddv 2633	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
61	2, 60	rexlimddv 2633	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 983   = wceq 1375  ∃wex 1518   ∈ wcel 2180  ∃wrex 2489  ⟨cop 3649   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  Qcnq 7435   +_Q cplq 7437   ·_Q cmq 7438   <_Q cltq 7440  Pcnp 7446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-eprel 4357  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-1o 6532  df-2o 6533  df-oadd 6536  df-omul 6537  df-er 6650  df-ec 6652  df-qs 6656  df-ni 7459  df-pli 7460  df-mi 7461  df-lti 7462  df-plpq 7499  df-mpq 7500  df-enq 7502  df-nqqs 7503  df-plqqs 7504  df-mqqs 7505  df-1nqqs 7506  df-rq 7507  df-ltnqqs 7508  df-enq0 7579  df-nq0 7580  df-0nq0 7581  df-plq0 7582  df-mq0 7583  df-inp 7621

This theorem is referenced by:  prmuloc2  7722  mullocpr  7726