Theorem prmuloc 7927

Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prmuloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑢   𝐵,𝑑,𝑢   𝐿,𝑑,𝑢   𝑈,𝑑,𝑢

Proof of Theorem prmuloc

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexnqi 7770	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
3		prml 7838	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝐿)
4	3	ad2antrr 492	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝐿)
5		simprl 535	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝑟 ∈ Q)
6		simplrl 541	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝑥 ∈ Q)
7		mulclnq 7737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑟 ·Q 𝑥) ∈ Q)
8	5, 6, 7	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → (𝑟 ·Q 𝑥) ∈ Q)
9		ltrelnq 7726	. . . . . . . 8 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
10	9	brel 4825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
11	10	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
12	11	ad3antlr 497	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝐵 ∈ Q)
13		appdiv0nq 7925	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 ·Q 𝑥) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))
14	8, 12, 13	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))
15		prarloc 7864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
16	15	adantlr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
17	16	adantlr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
18	17	ad2ant2r 513	. . . . . . 7 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
19		r2ex 2570	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝) ↔ ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)))
20	18, 19	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)))
21		elprnql 7842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
22	21	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
23	22	adantlr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
24	23	adantlr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
25	24	ad2ant2r 513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ Q)
26	25	adantrr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑑 ∈ Q)
27		simplll 539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
28	27	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
29		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈))
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑢 ∈ 𝑈)
31		elprnqu 7843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ Q)
32	28, 30, 31	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑢 ∈ Q)
33		prltlu 7848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q 𝑢)
34	33	3adant1r 1262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q 𝑢)
35	34	3adant2l 1263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q 𝑢)
36	35	3adant3l 1265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q 𝑢)
37	36	3adant1r 1262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q 𝑢)
38	37	3expa 1234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q 𝑢)
39	38	ad2ant2r 513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑟 <Q 𝑢)
40		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
41		simplrr 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
42	41	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
43		simplrr 542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))
44	10	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
45	44	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ Q)
46	45	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝐴 ∈ Q)
47	12	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝐵 ∈ Q)
48		simplrl 541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑝 ∈ Q)
49	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑥 ∈ Q)
50	39, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49	prmuloclemcalc 7926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))
51		df-3an 1011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
52	29, 50, 51	sylanbrc 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
53	26, 32, 52	jca31 309	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → ((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))))
54	53	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → (((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)) → ((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))))
55	54	2eximdv 1935	. . . . . 6 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → (∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)) → ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))))
56	20, 55	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))))
57		r2ex 2570	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)) ↔ ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))))
58	56, 57	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
59	14, 58	rexlimddv 2673	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
60	4, 59	rexlimddv 2673	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
61	2, 60	rexlimddv 2673	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  Qcnq 7641   +_Q cplq 7643   ·_Q cmq 7644   <_Q cltq 7646  Pcnp 7652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-pli 7666  df-mi 7667  df-lti 7668  df-plpq 7705  df-mpq 7706  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-plqqs 7710  df-mqqs 7711  df-1nqqs 7712  df-rq 7713  df-ltnqqs 7714  df-enq0 7785  df-nq0 7786  df-0nq0 7787  df-plq0 7788  df-mq0 7789  df-inp 7827

This theorem is referenced by:  prmuloc2  7928  mullocpr  7932