Theorem resqrexlemex 10967

Description: Lemma for resqrex 10968. Existence of square root given a sequence which converges to the square root. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemex	|- ( ph -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   y, F, z   ph, z, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( x)

Proof of Theorem resqrexlemex

Dummy variables r n e a b c k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemcvg 10961	. 2 |- ( ph -> E. r e. RR A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) )
5		simprl 521	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> r e. RR )
6	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A e. RR )
7	3	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> 0 <_ A )
8		simprr 522	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) )
9		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = c -> ( F ` k ) = ( F ` c ) )
10	9	breq1d 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = c -> ( ( F ` k ) < ( r + e ) <-> ( F ` c ) < ( r + e ) ) )
11	9	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = c -> ( ( F ` k ) + e ) = ( ( F ` c ) + e ) )
12	11	breq2d 3994	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = c -> ( r < ( ( F ` k ) + e ) <-> r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
13	10, 12	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( k = c -> ( ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) ) )
14	13	cbvralv 2692	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
15	14	rexbii 2473	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. n e. NN A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
16		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( n = b -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` b ) )
17	16	raleqdv 2667	. . . . . . . . 9 |- ( n = b -> ( A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) ) )
18	17	cbvrexv 2693	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
19	15, 18	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
20	19	ralbii 2472	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. e e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
21		oveq2 5850	. . . . . . . . . 10 |- ( e = a -> ( r + e ) = ( r + a ) )
22	21	breq2d 3994	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( ( F ` c ) < ( r + e ) <-> ( F ` c ) < ( r + a ) ) )
23		oveq2 5850	. . . . . . . . . 10 |- ( e = a -> ( ( F ` c ) + e ) = ( ( F ` c ) + a ) )
24	23	breq2d 3994	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( r < ( ( F ` c ) + e ) <-> r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
25	22, 24	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
26	25	rexralbidv 2492	. . . . . . 7 |- ( e = a -> ( E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
27	26	cbvralv 2692	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
28	20, 27	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
29	8, 28	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
30	1, 6, 7, 5, 29	resqrexlemgt0 10962	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> 0 <_ r )
31	1, 6, 7, 5, 8	resqrexlemsqa 10966	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> ( r ^ 2 ) = A )
32		breq2 3986	. . . . 5 |- ( x = r -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ r ) )
33		oveq1 5849	. . . . . 6 |- ( x = r -> ( x ^ 2 ) = ( r ^ 2 ) )
34	33	eqeq1d 2174	. . . . 5 |- ( x = r -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( r ^ 2 ) = A ) )
35	32, 34	anbi12d 465	. . . 4 |- ( x = r -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r ^ 2 ) = A ) ) )
36	35	rspcev 2830	. . 3 |- ( ( r e. RR /\ ( 0 <_ r /\ ( r ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
37	5, 30, 31, 36	syl12anc 1226	. 2 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
38	4, 37	rexlimddv 2588	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   {csn 3576   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589   seqcseq 10380   ^cexp 10454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by:  resqrex  10968