Theorem resqrexlemex 11585

Description: Lemma for resqrex 11586. Existence of square root given a sequence which converges to the square root. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemex	|- ( ph -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   y, F, z   ph, z, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( x)

Proof of Theorem resqrexlemex

Dummy variables r n e a b c k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemcvg 11579	. 2 |- ( ph -> E. r e. RR A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) )
5		simprl 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> r e. RR )
6	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A e. RR )
7	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> 0 <_ A )
8		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) )
9		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = c -> ( F ` k ) = ( F ` c ) )
10	9	breq1d 4098	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = c -> ( ( F ` k ) < ( r + e ) <-> ( F ` c ) < ( r + e ) ) )
11	9	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = c -> ( ( F ` k ) + e ) = ( ( F ` c ) + e ) )
12	11	breq2d 4100	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = c -> ( r < ( ( F ` k ) + e ) <-> r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
13	10, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( k = c -> ( ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) ) )
14	13	cbvralv 2767	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
15	14	rexbii 2539	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. n e. NN A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
16		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10 |- ( n = b -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` b ) )
17	16	raleqdv 2736	. . . . . . . . 9 |- ( n = b -> ( A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) ) )
18	17	cbvrexv 2768	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
19	15, 18	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
20	19	ralbii 2538	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. e e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
21		oveq2 6025	. . . . . . . . . 10 |- ( e = a -> ( r + e ) = ( r + a ) )
22	21	breq2d 4100	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( ( F ` c ) < ( r + e ) <-> ( F ` c ) < ( r + a ) ) )
23		oveq2 6025	. . . . . . . . . 10 |- ( e = a -> ( ( F ` c ) + e ) = ( ( F ` c ) + a ) )
24	23	breq2d 4100	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( r < ( ( F ` c ) + e ) <-> r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
25	22, 24	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
26	25	rexralbidv 2558	. . . . . . 7 |- ( e = a -> ( E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
27	26	cbvralv 2767	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
28	20, 27	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
29	8, 28	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
30	1, 6, 7, 5, 29	resqrexlemgt0 11580	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> 0 <_ r )
31	1, 6, 7, 5, 8	resqrexlemsqa 11584	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> ( r ^ 2 ) = A )
32		breq2 4092	. . . . 5 |- ( x = r -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ r ) )
33		oveq1 6024	. . . . . 6 |- ( x = r -> ( x ^ 2 ) = ( r ^ 2 ) )
34	33	eqeq1d 2240	. . . . 5 |- ( x = r -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( r ^ 2 ) = A ) )
35	32, 34	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = r -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r ^ 2 ) = A ) ) )
36	35	rspcev 2910	. . 3 |- ( ( r e. RR /\ ( 0 <_ r /\ ( r ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
37	5, 30, 31, 36	syl12anc 1271	. 2 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
38	4, 37	rexlimddv 2655	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   {csn 3669   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   <_ cle 8214   / cdiv 8851   NNcn 9142   2c2 9193   ZZ>=cuz 9754   RR+crp 9887   seqcseq 10708   ^cexp 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800

This theorem is referenced by:  resqrex  11586