Theorem resqrexlemex 11536

Description: Lemma for resqrex 11537. Existence of square root given a sequence which converges to the square root. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemex	|- ( ph -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   y, F, z   ph, z, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( x)

Proof of Theorem resqrexlemex

Dummy variables r n e a b c k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemcvg 11530	. 2 |- ( ph -> E. r e. RR A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) )
5		simprl 529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> r e. RR )
6	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A e. RR )
7	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> 0 <_ A )
8		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) )
9		fveq2 5627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = c -> ( F ` k ) = ( F ` c ) )
10	9	breq1d 4093	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = c -> ( ( F ` k ) < ( r + e ) <-> ( F ` c ) < ( r + e ) ) )
11	9	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = c -> ( ( F ` k ) + e ) = ( ( F ` c ) + e ) )
12	11	breq2d 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = c -> ( r < ( ( F ` k ) + e ) <-> r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
13	10, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( k = c -> ( ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) ) )
14	13	cbvralv 2765	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
15	14	rexbii 2537	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. n e. NN A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
16		fveq2 5627	. . . . . . . . . 10 |- ( n = b -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` b ) )
17	16	raleqdv 2734	. . . . . . . . 9 |- ( n = b -> ( A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) ) )
18	17	cbvrexv 2766	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
19	15, 18	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
20	19	ralbii 2536	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. e e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
21		oveq2 6009	. . . . . . . . . 10 |- ( e = a -> ( r + e ) = ( r + a ) )
22	21	breq2d 4095	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( ( F ` c ) < ( r + e ) <-> ( F ` c ) < ( r + a ) ) )
23		oveq2 6009	. . . . . . . . . 10 |- ( e = a -> ( ( F ` c ) + e ) = ( ( F ` c ) + a ) )
24	23	breq2d 4095	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( r < ( ( F ` c ) + e ) <-> r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
25	22, 24	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
26	25	rexralbidv 2556	. . . . . . 7 |- ( e = a -> ( E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
27	26	cbvralv 2765	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
28	20, 27	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
29	8, 28	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
30	1, 6, 7, 5, 29	resqrexlemgt0 11531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> 0 <_ r )
31	1, 6, 7, 5, 8	resqrexlemsqa 11535	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> ( r ^ 2 ) = A )
32		breq2 4087	. . . . 5 |- ( x = r -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ r ) )
33		oveq1 6008	. . . . . 6 |- ( x = r -> ( x ^ 2 ) = ( r ^ 2 ) )
34	33	eqeq1d 2238	. . . . 5 |- ( x = r -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( r ^ 2 ) = A ) )
35	32, 34	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = r -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r ^ 2 ) = A ) ) )
36	35	rspcev 2907	. . 3 |- ( ( r e. RR /\ ( 0 <_ r /\ ( r ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
37	5, 30, 31, 36	syl12anc 1269	. 2 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
38	4, 37	rexlimddv 2653	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {csn 3666   class class class wbr 4083   X. cxp 4717   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   < clt 8181   <_ cle 8182   / cdiv 8819   NNcn 9110   2c2 9161   ZZ>=cuz 9722   RR+crp 9849   seqcseq 10669   ^cexp 10760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-rp 9850  df-seqfrec 10670  df-exp 10761

This theorem is referenced by:  resqrex  11537