Theorem resqrexlemex 11029

Description: Lemma for resqrex 11030. Existence of square root given a sequence which converges to the square root. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemex	|- ( ph -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   y, F, z   ph, z, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( x)

Proof of Theorem resqrexlemex

Dummy variables r n e a b c k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemcvg 11023	. 2 |- ( ph -> E. r e. RR A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) )
5		simprl 529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> r e. RR )
6	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A e. RR )
7	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> 0 <_ A )
8		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) )
9		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = c -> ( F ` k ) = ( F ` c ) )
10	9	breq1d 4013	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = c -> ( ( F ` k ) < ( r + e ) <-> ( F ` c ) < ( r + e ) ) )
11	9	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = c -> ( ( F ` k ) + e ) = ( ( F ` c ) + e ) )
12	11	breq2d 4015	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = c -> ( r < ( ( F ` k ) + e ) <-> r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
13	10, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( k = c -> ( ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) ) )
14	13	cbvralv 2703	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
15	14	rexbii 2484	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. n e. NN A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
16		fveq2 5515	. . . . . . . . . 10 |- ( n = b -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` b ) )
17	16	raleqdv 2678	. . . . . . . . 9 |- ( n = b -> ( A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) ) )
18	17	cbvrexv 2704	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
19	15, 18	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
20	19	ralbii 2483	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. e e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
21		oveq2 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( e = a -> ( r + e ) = ( r + a ) )
22	21	breq2d 4015	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( ( F ` c ) < ( r + e ) <-> ( F ` c ) < ( r + a ) ) )
23		oveq2 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( e = a -> ( ( F ` c ) + e ) = ( ( F ` c ) + a ) )
24	23	breq2d 4015	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( r < ( ( F ` c ) + e ) <-> r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
25	22, 24	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
26	25	rexralbidv 2503	. . . . . . 7 |- ( e = a -> ( E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
27	26	cbvralv 2703	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
28	20, 27	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
29	8, 28	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
30	1, 6, 7, 5, 29	resqrexlemgt0 11024	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> 0 <_ r )
31	1, 6, 7, 5, 8	resqrexlemsqa 11028	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> ( r ^ 2 ) = A )
32		breq2 4007	. . . . 5 |- ( x = r -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ r ) )
33		oveq1 5881	. . . . . 6 |- ( x = r -> ( x ^ 2 ) = ( r ^ 2 ) )
34	33	eqeq1d 2186	. . . . 5 |- ( x = r -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( r ^ 2 ) = A ) )
35	32, 34	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = r -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r ^ 2 ) = A ) ) )
36	35	rspcev 2841	. . 3 |- ( ( r e. RR /\ ( 0 <_ r /\ ( r ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
37	5, 30, 31, 36	syl12anc 1236	. 2 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
38	4, 37	rexlimddv 2599	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {csn 3592   class class class wbr 4003   X. cxp 4624   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   e. cmpo 5876   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7990   <_ cle 7991   / cdiv 8627   NNcn 8917   2c2 8968   ZZ>=cuz 9526   RR+crp 9651   seqcseq 10442   ^cexp 10516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652  df-seqfrec 10443  df-exp 10517

This theorem is referenced by:  resqrex  11030