Theorem resqrexlemex 11336

Description: Lemma for resqrex 11337. Existence of square root given a sequence which converges to the square root. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemex	|- ( ph -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   y, F, z   ph, z, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( x)

Proof of Theorem resqrexlemex

Dummy variables r n e a b c k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . 3 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemcvg 11330	. 2 |- ( ph -> E. r e. RR A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) )
5		simprl 529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> r e. RR )
6	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A e. RR )
7	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> 0 <_ A )
8		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) )
9		fveq2 5576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = c -> ( F ` k ) = ( F ` c ) )
10	9	breq1d 4054	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = c -> ( ( F ` k ) < ( r + e ) <-> ( F ` c ) < ( r + e ) ) )
11	9	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = c -> ( ( F ` k ) + e ) = ( ( F ` c ) + e ) )
12	11	breq2d 4056	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = c -> ( r < ( ( F ` k ) + e ) <-> r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
13	10, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( k = c -> ( ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) ) )
14	13	cbvralv 2738	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
15	14	rexbii 2513	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. n e. NN A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
16		fveq2 5576	. . . . . . . . . 10 |- ( n = b -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` b ) )
17	16	raleqdv 2708	. . . . . . . . 9 |- ( n = b -> ( A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) ) )
18	17	cbvrexv 2739	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN A. c e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
19	15, 18	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
20	19	ralbii 2512	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. e e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) )
21		oveq2 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( e = a -> ( r + e ) = ( r + a ) )
22	21	breq2d 4056	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( ( F ` c ) < ( r + e ) <-> ( F ` c ) < ( r + a ) ) )
23		oveq2 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( e = a -> ( ( F ` c ) + e ) = ( ( F ` c ) + a ) )
24	23	breq2d 4056	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( r < ( ( F ` c ) + e ) <-> r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
25	22, 24	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
26	25	rexralbidv 2532	. . . . . . 7 |- ( e = a -> ( E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
27	26	cbvralv 2738	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` c ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
28	20, 27	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
29	8, 28	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( r + a ) /\ r < ( ( F ` c ) + a ) ) )
30	1, 6, 7, 5, 29	resqrexlemgt0 11331	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> 0 <_ r )
31	1, 6, 7, 5, 8	resqrexlemsqa 11335	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> ( r ^ 2 ) = A )
32		breq2 4048	. . . . 5 |- ( x = r -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ r ) )
33		oveq1 5951	. . . . . 6 |- ( x = r -> ( x ^ 2 ) = ( r ^ 2 ) )
34	33	eqeq1d 2214	. . . . 5 |- ( x = r -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( r ^ 2 ) = A ) )
35	32, 34	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = r -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r ^ 2 ) = A ) ) )
36	35	rspcev 2877	. . 3 |- ( ( r e. RR /\ ( 0 <_ r /\ ( r ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
37	5, 30, 31, 36	syl12anc 1248	. 2 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. e e. RR+ E. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` k ) < ( r + e ) /\ r < ( ( F ` k ) + e ) ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
38	4, 37	rexlimddv 2628	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   {csn 3633   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   e. cmpo 5946   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   <_ cle 8108   / cdiv 8745   NNcn 9036   2c2 9087   ZZ>=cuz 9648   RR+crp 9775   seqcseq 10592   ^cexp 10683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-seqfrec 10593  df-exp 10684

This theorem is referenced by:  resqrex  11337