Theorem seq3fveq 10420

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqfveq.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqfveq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
iseqfveq.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seq3fveq	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqfveq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 9485	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		uzid 9494	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		iseqfveq.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
7		iseqfveq.pl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8	3, 6, 7	seq3-1 10409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
9		fveq2 5494	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
10		fveq2 5494	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑀))
11	9, 10	eqeq12d 2185	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑀) = (𝐺‘𝑀)))
12		iseqfveq.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
13	12	ralrimiva 2543	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
14		eluzfz1 9980	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
15	1, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
16	11, 13, 15	rspcdva 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = (𝐺‘𝑀))
17	8, 16	eqtrd 2203	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐺‘𝑀))
18		iseqfveq.g	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
19		fzp1ss 10022	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
20	3, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
21	20	sselda 3147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
22	21, 12	syldan 280	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
23	5, 17, 6, 18, 7, 1, 22	seq3fveq2 10418	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  1c1 7768   + caddc 7770  ℤcz 9205  ℤ_≥cuz 9480  ...cfz 9958  seqcseq 10394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959  df-seqfrec 10395

This theorem is referenced by:  seq3feq  10421  seq3f1olemqsumk  10448  seq3f1olemqsum  10449  seq3f1oleml  10452  seq3f1o  10453  fsum3  11343  fsum3ser  11353  fprodseq  11539  fprodntrivap  11540