ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3fveq GIF version

Theorem seq3fveq 10489
Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfveq.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqfveq.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
iseqfveq.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seq3fveq (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3fveq
StepHypRef Expression
1 iseqfveq.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 9551 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 uzid 9560 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
53, 4syl 14 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
6 iseqfveq.f . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
7 iseqfveq.pl . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
83, 6, 7seq3-1 10478 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
9 fveq2 5530 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
10 fveq2 5530 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑀))
119, 10eqeq12d 2204 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀)))
12 iseqfveq.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
1312ralrimiva 2563 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
14 eluzfz1 10049 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
151, 14syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
1611, 13, 15rspcdva 2861 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀))
178, 16eqtrd 2222 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐺𝑀))
18 iseqfveq.g . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
19 fzp1ss 10091 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
203, 19syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
2120sselda 3170 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
2221, 12syldan 282 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
235, 17, 6, 18, 7, 1, 22seq3fveq2 10487 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  wss 3144  cfv 5231  (class class class)co 5891  1c1 7830   + caddc 7832  cz 9271  cuz 9546  ...cfz 10026  seqcseq 10463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-fz 10027  df-seqfrec 10464
This theorem is referenced by:  seq3feq  10490  seq3f1olemqsumk  10517  seq3f1olemqsum  10518  seq3f1oleml  10521  seq3f1o  10522  fsum3  11413  fsum3ser  11423  fprodseq  11609  fprodntrivap  11610
  Copyright terms: Public domain W3C validator