ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser3ge0 GIF version

Theorem ser3ge0 10531
Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ser3ge0.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
ser3ge0.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
ser3ge0.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
ser3ge0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem ser3ge0
Dummy variables 𝑗 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ser3ge0.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2 eluzfz2 10046 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4 fveq2 5527 . . . . 5 (𝑀 = 𝑀 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€))
54breq2d 4027 . . . 4 (𝑀 = 𝑀 β†’ (0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)))
65imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€))))
7 fveq2 5527 . . . . 5 (𝑀 = 𝑗 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
87breq2d 4027 . . . 4 (𝑀 = 𝑗 β†’ (0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
98imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 𝑗 β†’ ((πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
10 fveq2 5527 . . . . 5 (𝑀 = (𝑗 + 1) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))
1110breq2d 4027 . . . 4 (𝑀 = (𝑗 + 1) β†’ (0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1))))
1211imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = (𝑗 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))))
13 fveq2 5527 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
1413breq2d 4027 . . . 4 (𝑀 = 𝑁 β†’ (0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
1514imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))))
16 fveq2 5527 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘€))
1716breq2d 4027 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
18 ser3ge0.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
1918ralrimiva 2560 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
20 eluzfz1 10045 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
211, 20syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
2217, 19, 21rspcdva 2858 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
23 eluzel2 9547 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
241, 23syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
25 ser3ge0.2 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
26 readdcl 7951 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + 𝑣) ∈ ℝ)
2726adantl 277 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ + 𝑣) ∈ ℝ)
2824, 25, 27seq3-1 10474 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
2922, 28breqtrrd 4043 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€))
3029a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)))
31 eqid 2187 . . . . . . . . . . 11 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3231, 24, 25, 27seqf 10475 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„)
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ seq𝑀( + , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„)
34 elfzouz 10165 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3534ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3633, 35ffvelcdmd 5665 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
37 fveq2 5527 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
3837eleq1d 2256 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
3925ralrimiva 2560 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4039adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
41 peano2uz 9597 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4234, 41syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4342adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4438, 40, 43rspcdva 2858 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
4544adantr 276 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
46 simpr 110 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
4737breq2d 4027 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1))))
4819ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
49 fzofzp1 10241 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5049ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5147, 48, 50rspcdva 2858 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
5236, 45, 46, 51addge0d 8493 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) + (πΉβ€˜(𝑗 + 1))))
5325adantlr 477 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5453adantlr 477 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5526adantl 277 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ + 𝑣) ∈ ℝ)
5635, 54, 55seq3p1 10476 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) + (πΉβ€˜(𝑗 + 1))))
5752, 56breqtrrd 4043 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))
5857ex 115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1))))
5958expcom 116 . . . 4 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ (0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))))
6059a2d 26 . . 3 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ ((πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))))
616, 9, 12, 15, 30, 60fzind2 10253 . 2 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
623, 61mpcom 36 1 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465   class class class wbr 4015  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„cr 7824  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   ≀ cle 8007  β„€cz 9267  β„€β‰₯cuz 9542  ...cfz 10022  ..^cfzo 10156  seqcseq 10459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460
This theorem is referenced by:  ser3le  10532
  Copyright terms: Public domain W3C validator