ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser3ge0 GIF version

Theorem ser3ge0 10516
Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ser3ge0.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
ser3ge0.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
ser3ge0.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
ser3ge0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem ser3ge0
Dummy variables 𝑗 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ser3ge0.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2 eluzfz2 10031 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4 fveq2 5515 . . . . 5 (𝑀 = 𝑀 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€))
54breq2d 4015 . . . 4 (𝑀 = 𝑀 β†’ (0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)))
65imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€))))
7 fveq2 5515 . . . . 5 (𝑀 = 𝑗 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
87breq2d 4015 . . . 4 (𝑀 = 𝑗 β†’ (0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
98imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 𝑗 β†’ ((πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))))
10 fveq2 5515 . . . . 5 (𝑀 = (𝑗 + 1) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))
1110breq2d 4015 . . . 4 (𝑀 = (𝑗 + 1) β†’ (0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1))))
1211imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = (𝑗 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))))
13 fveq2 5515 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
1413breq2d 4015 . . . 4 (𝑀 = 𝑁 β†’ (0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
1514imbi2d 230 . . 3 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))))
16 fveq2 5515 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘€))
1716breq2d 4015 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
18 ser3ge0.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
1918ralrimiva 2550 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
20 eluzfz1 10030 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
211, 20syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
2217, 19, 21rspcdva 2846 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
23 eluzel2 9532 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
241, 23syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
25 ser3ge0.2 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
26 readdcl 7936 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + 𝑣) ∈ ℝ)
2726adantl 277 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ + 𝑣) ∈ ℝ)
2824, 25, 27seq3-1 10459 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
2922, 28breqtrrd 4031 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€))
3029a1i 9 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)))
31 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3231, 24, 25, 27seqf 10460 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„)
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ seq𝑀( + , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„)
34 elfzouz 10150 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3534ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3633, 35ffvelcdmd 5652 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
37 fveq2 5515 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
3837eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
3925ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4039adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
41 peano2uz 9582 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4234, 41syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4342adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4438, 40, 43rspcdva 2846 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
4544adantr 276 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
46 simpr 110 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
4737breq2d 4015 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1))))
4819ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
49 fzofzp1 10226 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5049ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5147, 48, 50rspcdva 2846 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
5236, 45, 46, 51addge0d 8478 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) + (πΉβ€˜(𝑗 + 1))))
5325adantlr 477 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5453adantlr 477 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5526adantl 277 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ + 𝑣) ∈ ℝ)
5635, 54, 55seq3p1 10461 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) + (πΉβ€˜(𝑗 + 1))))
5752, 56breqtrrd 4031 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))
5857ex 115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1))))
5958expcom 116 . . . 4 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ (0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))))
6059a2d 26 . . 3 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ ((πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—)) β†’ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))))
616, 9, 12, 15, 30, 60fzind2 10238 . 2 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
623, 61mpcom 36 1 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   class class class wbr 4003  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  β„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ≀ cle 7992  β„€cz 9252  β„€β‰₯cuz 9527  ...cfz 10007  ..^cfzo 10141  seqcseq 10444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445
This theorem is referenced by:  ser3le  10517
  Copyright terms: Public domain W3C validator