Theorem swrdlsw 11457

Description: Extract the last single symbol from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlsw	|- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. ) = <" (lastS ` W ) "> )

Proof of Theorem swrdlsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11339	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> W e. Fin )
2		fihashneq0 11249	. . . . . 6 |- ( W e. Fin -> ( 0 < (♯ ` W ) <-> W =/= (/) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( 0 < (♯ ` W ) <-> W =/= (/) ) )
4		lencl 11324	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
5		nn0z 9669	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` W ) e. ZZ )
6		elnnz 9659	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` W ) e. NN <-> ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ 0 < (♯ ` W ) ) )
7		fzo0end 10652	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` W ) e. NN -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
8	6, 7	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ 0 < (♯ ` W ) ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
9	8	ex 115	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. ZZ -> ( 0 < (♯ ` W ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
10	4, 5, 9	3syl 17	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( 0 < (♯ ` W ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
11	3, 10	sylbird 170	. . . 4 |- ( W e. Word V -> ( W =/= (/) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
12	11	imp 124	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
13		swrds1 11456	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. ) = <" ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) "> )
14	12, 13	syldan 282	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. ) = <" ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) "> )
15		nn0cn 9578	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` W ) e. CC )
16		ax-1cn 8273	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
17	15, 16	jctir 313	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> ( (♯ ` W ) e. CC /\ 1 e. CC ) )
18		npcan 8537	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` W ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) = (♯ ` W ) )
19	18	eqcomd 2244	. . . . . 6 |- ( ( (♯ ` W ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> (♯ ` W ) = ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) )
20	4, 17, 19	3syl 17	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) = ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) )
21	20	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) = ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) )
22	21	opeq2d 3911	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. = <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. )
23	22	oveq2d 6101	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. ) = ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. ) )
24		lswwrd 11367	. . . 4 |- ( W e. Word V -> (lastS ` W ) = ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) )
25	24	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> (lastS ` W ) = ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) )
26	25	s1eqd 11404	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> <" (lastS ` W ) "> = <" ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) "> )
27	14, 23, 26	3eqtr4d 2281	1 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. ) = <" (lastS ` W ) "> )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   (/)c0 3520   <.cop 3712   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   CCcc 8178   0cc0 8180   1c1 8181   + caddc 8183   < clt 8361   - cmin 8499   NNcn 9307   NN0cn0 9568   ZZcz 9649  ..^cfzo 10560  ♯chash 11230  Word cword 11320  lastSclsw 11365   <"cs1 11399   substr csubstr 11433

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-ihash 11231  df-word 11321  df-lsw 11366  df-s1 11400  df-substr 11434

This theorem is used by:  pfxsuff1eqwrdeq  11487  pfxlswccat  11501