Theorem swrdlsw 11249

Description: Extract the last single symbol from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlsw	|- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. ) = <" (lastS ` W ) "> )

Proof of Theorem swrdlsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11131	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> W e. Fin )
2		fihashneq0 11055	. . . . . 6 |- ( W e. Fin -> ( 0 < (♯ ` W ) <-> W =/= (/) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( 0 < (♯ ` W ) <-> W =/= (/) ) )
4		lencl 11116	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
5		nn0z 9498	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` W ) e. ZZ )
6		elnnz 9488	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` W ) e. NN <-> ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ 0 < (♯ ` W ) ) )
7		fzo0end 10467	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` W ) e. NN -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
8	6, 7	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ 0 < (♯ ` W ) ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
9	8	ex 115	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. ZZ -> ( 0 < (♯ ` W ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
10	4, 5, 9	3syl 17	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( 0 < (♯ ` W ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
11	3, 10	sylbird 170	. . . 4 |- ( W e. Word V -> ( W =/= (/) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
12	11	imp 124	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
13		swrds1 11248	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. ) = <" ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) "> )
14	12, 13	syldan 282	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. ) = <" ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) "> )
15		nn0cn 9411	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` W ) e. CC )
16		ax-1cn 8124	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
17	15, 16	jctir 313	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> ( (♯ ` W ) e. CC /\ 1 e. CC ) )
18		npcan 8387	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` W ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) = (♯ ` W ) )
19	18	eqcomd 2237	. . . . . 6 |- ( ( (♯ ` W ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> (♯ ` W ) = ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) )
20	4, 17, 19	3syl 17	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) = ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) )
21	20	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) = ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) )
22	21	opeq2d 3869	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. = <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. )
23	22	oveq2d 6033	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. ) = ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. ) )
24		lswwrd 11159	. . . 4 |- ( W e. Word V -> (lastS ` W ) = ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) )
25	24	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> (lastS ` W ) = ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) )
26	25	s1eqd 11196	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> <" (lastS ` W ) "> = <" ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) "> )
27	14, 23, 26	3eqtr4d 2274	1 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. ) = <" (lastS ` W ) "> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   (/)c0 3494   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Fincfn 6908   CCcc 8029   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   - cmin 8349   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ZZcz 9478  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  Word cword 11112  lastSclsw 11157   <"cs1 11191   substr csubstr 11225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-lsw 11158  df-s1 11192  df-substr 11226

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  11279  pfxlswccat  11293