Theorem swrdlsw 11196

Description: Extract the last single symbol from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlsw	|- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. ) = <" (lastS ` W ) "> )

Proof of Theorem swrdlsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11085	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> W e. Fin )
2		fihashneq0 11011	. . . . . 6 |- ( W e. Fin -> ( 0 < (♯ ` W ) <-> W =/= (/) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( 0 < (♯ ` W ) <-> W =/= (/) ) )
4		lencl 11070	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
5		nn0z 9462	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` W ) e. ZZ )
6		elnnz 9452	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` W ) e. NN <-> ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ 0 < (♯ ` W ) ) )
7		fzo0end 10424	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` W ) e. NN -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
8	6, 7	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ 0 < (♯ ` W ) ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
9	8	ex 115	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. ZZ -> ( 0 < (♯ ` W ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
10	4, 5, 9	3syl 17	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( 0 < (♯ ` W ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
11	3, 10	sylbird 170	. . . 4 |- ( W e. Word V -> ( W =/= (/) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
12	11	imp 124	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
13		swrds1 11195	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. ) = <" ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) "> )
14	12, 13	syldan 282	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. ) = <" ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) "> )
15		nn0cn 9375	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` W ) e. CC )
16		ax-1cn 8088	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
17	15, 16	jctir 313	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> ( (♯ ` W ) e. CC /\ 1 e. CC ) )
18		npcan 8351	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` W ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) = (♯ ` W ) )
19	18	eqcomd 2235	. . . . . 6 |- ( ( (♯ ` W ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> (♯ ` W ) = ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) )
20	4, 17, 19	3syl 17	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) = ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) )
21	20	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) = ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) )
22	21	opeq2d 3863	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. = <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. )
23	22	oveq2d 6016	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. ) = ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. ) )
24		lswwrd 11113	. . . 4 |- ( W e. Word V -> (lastS ` W ) = ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) )
25	24	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> (lastS ` W ) = ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) )
26	25	s1eqd 11148	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> <" (lastS ` W ) "> = <" ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) "> )
27	14, 23, 26	3eqtr4d 2272	1 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. ) = <" (lastS ` W ) "> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   (/)c0 3491   <.cop 3669   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Fincfn 6885   CCcc 7993   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   < clt 8177   - cmin 8313   NNcn 9106   NN0cn0 9365   ZZcz 9442  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066  lastSclsw 11111   <"cs1 11143   substr csubstr 11172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-lsw 11112  df-s1 11144  df-substr 11173

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  11226  pfxlswccat  11240