Theorem swrdlsw 11122

Description: Extract the last single symbol from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlsw	|- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. ) = <" (lastS ` W ) "> )

Proof of Theorem swrdlsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11013	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> W e. Fin )
2		fihashneq0 10939	. . . . . 6 |- ( W e. Fin -> ( 0 < (♯ ` W ) <-> W =/= (/) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( 0 < (♯ ` W ) <-> W =/= (/) ) )
4		lencl 10998	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
5		nn0z 9392	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` W ) e. ZZ )
6		elnnz 9382	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` W ) e. NN <-> ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ 0 < (♯ ` W ) ) )
7		fzo0end 10352	. . . . . . . 8 |- ( (♯ ` W ) e. NN -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
8	6, 7	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ 0 < (♯ ` W ) ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
9	8	ex 115	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. ZZ -> ( 0 < (♯ ` W ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
10	4, 5, 9	3syl 17	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( 0 < (♯ ` W ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
11	3, 10	sylbird 170	. . . 4 |- ( W e. Word V -> ( W =/= (/) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
12	11	imp 124	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
13		swrds1 11121	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ ( (♯ ` W ) - 1 ) e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. ) = <" ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) "> )
14	12, 13	syldan 282	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. ) = <" ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) "> )
15		nn0cn 9305	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> (♯ ` W ) e. CC )
16		ax-1cn 8018	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
17	15, 16	jctir 313	. . . . . 6 |- ( (♯ ` W ) e. NN0 -> ( (♯ ` W ) e. CC /\ 1 e. CC ) )
18		npcan 8281	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` W ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) = (♯ ` W ) )
19	18	eqcomd 2211	. . . . . 6 |- ( ( (♯ ` W ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> (♯ ` W ) = ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) )
20	4, 17, 19	3syl 17	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) = ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) )
21	20	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> (♯ ` W ) = ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) )
22	21	opeq2d 3826	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. = <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. )
23	22	oveq2d 5960	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. ) = ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , ( ( (♯ ` W ) - 1 ) + 1 ) >. ) )
24		lswwrd 11040	. . . 4 |- ( W e. Word V -> (lastS ` W ) = ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) )
25	24	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> (lastS ` W ) = ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) )
26	25	s1eqd 11074	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> <" (lastS ` W ) "> = <" ( W ` ( (♯ ` W ) - 1 ) ) "> )
27	14, 23, 26	3eqtr4d 2248	1 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. ( (♯ ` W ) - 1 ) , (♯ ` W ) >. ) = <" (lastS ` W ) "> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   (/)c0 3460   <.cop 3636   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Fincfn 6827   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   - cmin 8243   NNcn 9036   NN0cn0 9295   ZZcz 9372  ..^cfzo 10264  ♯chash 10920  Word cword 10994  lastSclsw 11038   <"cs1 11069   substr csubstr 11098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-ihash 10921  df-word 10995  df-lsw 11039  df-s1 11070  df-substr 11099

This theorem is referenced by: (None)