Theorem trlsfvalg 16841

Description: The set of trails (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Oct-2017.) (Revised by AV, 28-Dec-2020.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
trlsfvalg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)})

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓, 𝑝)

Proof of Theorem trlsfvalg

Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trls 16839	. 2 ⊢ Trails = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝑔)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)})
2		fveq2 5698	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Walks‘𝑔) = (Walks‘𝐺))
3	2	breqd 4142	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(Walks‘𝑔)𝑝 ↔ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝))
4	3	anbi1d 469	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑓(Walks‘𝑔)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓) ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)))
5	4	opabbidv 4198	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝑔)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)})
6		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
7		wlkex 16783	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Walks‘𝐺) ∈ V)
8		elopabran 4428	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)} → 𝑧 ∈ (Walks‘𝐺))
9	8	ssriv 3252	. . . 4 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)} ⊆ (Walks‘𝐺)
10	9	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)} ⊆ (Walks‘𝐺))
11	7, 10	ssexd 4275	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)} ∈ V)
12	1, 5, 6, 11	fvmptd3 5802	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131  {copab 4192  ^◡ccnv 4775  Fun wfun 5374  ‘cfv 5380  Walkscwlks 16775  Trailsctrls 16838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-ihash 11238  df-word 11328  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-edgf 16463  df-vtx 16472  df-iedg 16473  df-wlks 16776  df-trls 16839

This theorem is used by:  trlsv  16842  istrl  16843  trlsex  16845