Theorem zmodcld 10347

Description: Closure law for the modulo operation restricted to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zmodcld.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zmodcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
zmodcld	|- ( ph -> ( A mod B ) e. NN0 )

Proof of Theorem zmodcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zmodcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		zmodcl 10346	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. NN0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A mod B ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5877   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   mod cmo 10324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272  df-mod 10325

This theorem is referenced by:  addmodlteq  10400  modfsummodlemstep  11467  dvdsdc  11807  bezoutlemnewy  11999  bezoutlemstep  12000  eucalgval2  12055  eucalglt  12059  eulerthlema  12232  odzdvds  12247  powm2modprm  12254  lgslem1  14486  lgsval  14490  lgsfvalg  14491  lgsfcl2  14492  lgsval2lem  14496  lgsvalmod  14505  lgsdir2lem4  14517  lgsdir2lem5  14518  lgsdir2  14519  lgsprme0  14528  lgseisenlem1  14535  lgseisenlem2  14536  m1lgs  14537  2lgsoddprmlem2  14539