Theorem zmodcld 10567

Description: Closure law for the modulo operation restricted to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zmodcld.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zmodcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
zmodcld	|- ( ph -> ( A mod B ) e. NN0 )

Proof of Theorem zmodcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zmodcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		zmodcl 10566	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A mod B ) e. NN0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A mod B ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   mod cmo 10544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-q 9815  df-rp 9850  df-fl 10490  df-mod 10545

This theorem is referenced by:  addmodlteq  10620  modfsummodlemstep  11968  dvdsdc  12309  bitsmod  12467  bitsinv1lem  12472  bezoutlemnewy  12517  bezoutlemstep  12518  eucalgval2  12575  eucalglt  12579  eulerthlema  12752  odzdvds  12768  powm2modprm  12775  4sqlemafi  12918  4sqlemffi  12919  4sqleminfi  12920  4sqlem12  12925  lgslem1  15679  lgsval  15683  lgsfvalg  15684  lgsfcl2  15685  lgsval2lem  15689  lgsvalmod  15698  lgsdir2lem4  15710  lgsdir2lem5  15711  lgsdir2  15712  lgsprme0  15721  lgseisenlem1  15749  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem3  15751  lgseisenlem4  15752  m1lgs  15764  2lgs  15783  2lgsoddprmlem2  15785  2lgsoddprm  15792