Theorem znle2 14817

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znle2.f	|- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
znle2.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
znle2.l	|- .<_ = ( le ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znle2	|- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )

Proof of Theorem znle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- (RSpan ` ℤring ) = (RSpan ` ℤring )
2		eqid 2234	. . 3 |- (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) )
3		znle2.y	. . 3 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		eqid 2234	. . 3 |- ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) = ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W )
5		znle2.w	. . 3 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
6		znle2.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` Y )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znle 14802	. 2 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) ) )
8	1, 2, 3	znzrh 14808	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) = ( ZRHom ` Y ) )
9	8	reseq1d 5039	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) )
10		znle2.f	. . . . 5 |- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
11	9, 10	eqtr4di 2285	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) = F )
12	11	coeq1d 4918	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) o. <_ ) = ( F o. <_ ) )
13	11	cnveqd 4933	. . 3 |- ( N e. NN0 -> `' ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) = `' F )
14	12, 13	coeq12d 4921	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) ) = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
15	7, 14	eqtrd 2267	1 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   ifcif 3622   {csn 3691   `'ccnv 4750   |` cres 4753   o. ccom 4755   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   0cc0 8129   <_ cle 8311   NN0cn0 9498   ZZcz 9579  ..^cfzo 10480   lecple 13314   /._s cqus 13530   ~_QG cqg 13903  RSpancrsp 14633  ℤ_ringczring 14755   ZRHomczrh 14776  ℤ/nℤczn 14778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-addf 8251  ax-mulf 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-ec 6771  df-map 6886  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-rp 9990  df-fz 10346  df-cj 11531  df-abs 11688  df-struct 13231  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-sets 13236  df-iress 13237  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-starv 13322  df-sca 13323  df-vsca 13324  df-ip 13325  df-tset 13326  df-ple 13327  df-ds 13329  df-unif 13330  df-0g 13488  df-topgen 13490  df-iimas 13532  df-qus 13533  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-mhm 13689  df-grp 13733  df-minusg 13734  df-subg 13904  df-eqg 13906  df-ghm 13975  df-cmn 14020  df-mgp 14082  df-ur 14121  df-ring 14159  df-cring 14160  df-rhm 14314  df-subrg 14381  df-lsp 14552  df-sra 14600  df-rgmod 14601  df-rsp 14635  df-bl 14711  df-mopn 14712  df-fg 14714  df-metu 14715  df-cnfld 14722  df-zring 14756  df-zrh 14779  df-zn 14781

This theorem is referenced by:  znleval  14818