Theorem znle2 14959

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znle2.f	|- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
znle2.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
znle2.l	|- .<_ = ( le ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znle2	|- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )

Proof of Theorem znle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- (RSpan ` ℤring ) = (RSpan ` ℤring )
2		eqid 2238	. . 3 |- (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) )
3		znle2.y	. . 3 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		eqid 2238	. . 3 |- ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) = ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W )
5		znle2.w	. . 3 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
6		znle2.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` Y )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znle 14944	. 2 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) ) )
8	1, 2, 3	znzrh 14950	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) = ( ZRHom ` Y ) )
9	8	reseq1d 5057	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) )
10		znle2.f	. . . . 5 |- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
11	9, 10	eqtr4di 2289	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) = F )
12	11	coeq1d 4936	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) o. <_ ) = ( F o. <_ ) )
13	11	cnveqd 4951	. . 3 |- ( N e. NN0 -> `' ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) = `' F )
14	12, 13	coeq12d 4939	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) ) |` W ) ) = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
15	7, 14	eqtrd 2271	1 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ifcif 3635   {csn 3705   `'ccnv 4768   |` cres 4771   o. ccom 4773   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   0cc0 8169   <_ cle 8351   NN0cn0 9542   ZZcz 9623  ..^cfzo 10527   lecple 13415   /._s cqus 13600   ~_QG cqg 13949  RSpancrsp 14777  ℤ_ringczring 14897   ZRHomczrh 14918  ℤ/nℤczn 14920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-ec 6799  df-map 6914  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-rp 10034  df-fz 10391  df-cj 11585  df-abs 11743  df-struct 13332  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-starv 13423  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-ip 13426  df-tset 13427  df-ple 13428  df-ds 13430  df-unif 13431  df-0g 13589  df-topgen 13591  df-iimas 13601  df-qus 13602  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-mhm 13743  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-subg 13950  df-eqg 13952  df-ghm 14021  df-cmn 14066  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-cring 14277  df-rhm 14432  df-subrg 14500  df-lsp 14696  df-sra 14744  df-rgmod 14745  df-rsp 14779  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-fg 14858  df-metu 14859  df-cnfld 14866  df-zring 14898  df-zrh 14921  df-zn 14923

This theorem is referenced by:  znleval  14960