Theorem znle2 14659

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znle2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))

Proof of Theorem znle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
3		znle2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		eqid 2229	. . 3 ⊢ ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) = ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊)
5		znle2.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6		znle2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znle 14644	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊)))
8	1, 2, 3	znzrh 14650	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (ℤRHom‘𝑌))
9	8	reseq1d 5010	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊))
10		znle2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
11	9, 10	eqtr4di 2280	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) = 𝐹)
12	11	coeq1d 4889	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) ∘ ≤ ) = (𝐹 ∘ ≤ ))
13	11	cnveqd 4904	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) = ◡𝐹)
14	12, 13	coeq12d 4892	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊) ∘ ≤ ) ∘ ◡((ℤRHom‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ↾ 𝑊)) = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
15	7, 14	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ifcif 3603  {csn 3667  ^◡ccnv 4722   ↾ cres 4725   ∘ ccom 4727  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  0cc0 8025   ≤ cle 8208  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472  ..^cfzo 10370  lecple 13160   /_s cqus 13376   ~_QG cqg 13749  RSpancrsp 14475  ℤ_ringczring 14597  ℤRHomczrh 14618  ℤ/nℤczn 14620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-addf 8147  ax-mulf 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-ec 6699  df-map 6814  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-rp 9882  df-fz 10237  df-cj 11396  df-abs 11553  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-starv 13168  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-ip 13171  df-tset 13172  df-ple 13173  df-ds 13175  df-unif 13176  df-0g 13334  df-topgen 13336  df-iimas 13378  df-qus 13379  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-mhm 13535  df-grp 13579  df-minusg 13580  df-subg 13750  df-eqg 13752  df-ghm 13821  df-cmn 13866  df-mgp 13927  df-ur 13966  df-ring 14004  df-cring 14005  df-rhm 14159  df-subrg 14226  df-lsp 14394  df-sra 14442  df-rgmod 14443  df-rsp 14477  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-fg 14556  df-metu 14557  df-cnfld 14564  df-zring 14598  df-zrh 14621  df-zn 14623

This theorem is referenced by:  znleval  14660