Theorem znleval 14152

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znle2.f	|- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
znle2.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
znle2.l	|- .<_ = ( le ` Y )
znleval.x	|- X = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znleval	|- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )

Proof of Theorem znleval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2		znle2.f	. . . . . . 7 |- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
3		znle2.w	. . . . . . 7 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
4		znle2.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` Y )
5	1, 2, 3, 4	znle2 14151	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
6		relco 5165	. . . . . . . 8 |- Rel ( ( F o. <_ ) o. `' F )
7		relssdmrn 5187	. . . . . . . 8 |- ( Rel ( ( F o. <_ ) o. `' F ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
9		dmcoss 4932	. . . . . . . . 9 |- dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ dom `' F
10		df-rn 4671	. . . . . . . . . 10 |- ran F = dom `' F
11		znleval.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = ( Base ` Y )
12	1, 11, 2, 3	znf1o 14150	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> X )
13		f1ofo 5508	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -1-1-onto-> X -> F : W -onto-> X )
14		forn 5480	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -onto-> X -> ran F = X )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ran F = X )
16	10, 15	eqtr3id 2240	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> dom `' F = X )
17	9, 16	sseqtrid 3230	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X )
18		rncoss 4933	. . . . . . . . 9 |- ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ran ( F o. <_ )
19		rncoss 4933	. . . . . . . . . 10 |- ran ( F o. <_ ) C_ ran F
20	19, 15	sseqtrid 3230	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ran ( F o. <_ ) C_ X )
21	18, 20	sstrid 3191	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X )
22		xpss12 4767	. . . . . . . 8 |- ( ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X /\ ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X ) -> ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) C_ ( X X. X ) )
23	17, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) C_ ( X X. X ) )
24	8, 23	sstrid 3191	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( X X. X ) )
25	5, 24	eqsstrd 3216	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> .<_ C_ ( X X. X ) )
26	25	ssbrd 4073	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B -> A ( X X. X ) B ) )
27		brxp 4691	. . . 4 |- ( A ( X X. X ) B <-> ( A e. X /\ B e. X ) )
28	26, 27	imbitrdi 161	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B -> ( A e. X /\ B e. X ) ) )
29	28	pm4.71rd 394	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) ) )
30	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
31	30	breqd 4041	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A .<_ B <-> A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B ) )
32		brcog 4830	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
33	32	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
34		eqcom 2195	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F ` A ) <-> ( `' F ` A ) = x )
35	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> F : W -1-1-onto-> X )
36		f1ocnv 5514	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -1-1-onto-> X -> `' F : X -1-1-onto-> W )
37		f1ofn 5502	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F : X -1-1-onto-> W -> `' F Fn X )
38	35, 36, 37	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> `' F Fn X )
39		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> A e. X )
40		fnbrfvb 5598	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F Fn X /\ A e. X ) -> ( ( `' F ` A ) = x <-> A `' F x ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) = x <-> A `' F x ) )
42	34, 41	bitr2id 193	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A `' F x <-> x = ( `' F ` A ) ) )
43	42	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
44	43	exbidv 1836	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
45	33, 44	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
46	1	zncrng 14144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
47		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
48	47	zrhex 14120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. CRing -> ( ZRHom ` Y ) e. _V )
49		resexg 4983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. _V -> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) e. _V )
50	46, 48, 49	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) e. _V )
51	2, 50	eqeltrid 2280	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> F e. _V )
52		cnvexg 5204	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. _V -> `' F e. _V )
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> `' F e. _V )
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> `' F e. _V )
55		fvexg 5574	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F e. _V /\ A e. X ) -> ( `' F ` A ) e. _V )
56	54, 39, 55	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( `' F ` A ) e. _V )
57		breq1 4033	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F ` A ) -> ( x ( F o. <_ ) B <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
58	57	ceqsexgv 2890	. . . . . . 7 |- ( ( `' F ` A ) e. _V -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
59	56, 58	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
60		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> B e. X )
61		brcog 4830	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F ` A ) e. _V /\ B e. X ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
62	56, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
63		eqcom 2195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F ` B ) <-> ( `' F ` B ) = x )
64		fnbrfvb 5598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F Fn X /\ B e. X ) -> ( ( `' F ` B ) = x <-> B `' F x ) )
65	38, 60, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` B ) = x <-> B `' F x ) )
66	63, 65	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( x = ( `' F ` B ) <-> B `' F x ) )
67		vex 2763	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
68		brcnvg 4844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. X /\ x e. _V ) -> ( B `' F x <-> x F B ) )
69	60, 67, 68	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( B `' F x <-> x F B ) )
70	66, 69	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( x = ( `' F ` B ) <-> x F B ) )
71	70	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( x F B /\ ( `' F ` A ) <_ x ) ) )
72	71	biancomd 271	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
73	72	exbidv 1836	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
74		fvexg 5574	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F e. _V /\ B e. X ) -> ( `' F ` B ) e. _V )
75	54, 60, 74	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( `' F ` B ) e. _V )
76		breq2 4034	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F ` B ) -> ( ( `' F ` A ) <_ x <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
77	76	ceqsexgv 2890	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F ` B ) e. _V -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
78	75, 77	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
79	62, 73, 78	3bitr2d 216	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
80	59, 79	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
81	31, 45, 80	3bitrd 214	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A .<_ B <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
82	81	pm5.32da 452	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )
83		df-3an 982	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
84	82, 83	bitr4di 198	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )
85	29, 84	bitrd 188	1 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   ifcif 3558   class class class wbr 4030   X. cxp 4658   `'ccnv 4659   dom cdm 4660   ran crn 4661   |` cres 4662   o. ccom 4664   Rel wrel 4665   Fn wfn 5250   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   0cc0 7874   <_ cle 8057   NN0cn0 9243   ZZcz 9320  ..^cfzo 10211   Basecbs 12621   lecple 12705   CRingccrg 13496   ZRHomczrh 14110  ℤ/nℤczn 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-tpos 6300  df-recs 6360  df-frec 6446  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-dec 9452  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-cj 10989  df-abs 11146  df-dvds 11934  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-starv 12713  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-ip 12716  df-tset 12717  df-ple 12718  df-ds 12720  df-unif 12721  df-0g 12872  df-topgen 12874  df-iimas 12888  df-qus 12889  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-mhm 13034  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-mulg 13193  df-subg 13243  df-nsg 13244  df-eqg 13245  df-ghm 13314  df-cmn 13359  df-abl 13360  df-mgp 13420  df-rng 13432  df-ur 13459  df-srg 13463  df-ring 13497  df-cring 13498  df-oppr 13567  df-dvdsr 13588  df-rhm 13651  df-subrg 13718  df-lmod 13788  df-lssm 13852  df-lsp 13886  df-sra 13934  df-rgmod 13935  df-lidl 13968  df-rsp 13969  df-2idl 13999  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-fg 14048  df-metu 14049  df-cnfld 14056  df-zring 14090  df-zrh 14113  df-zn 14115

This theorem is referenced by:  znleval2  14153