Theorem znleval 14459

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znle2.f	|- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
znle2.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
znle2.l	|- .<_ = ( le ` Y )
znleval.x	|- X = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znleval	|- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )

Proof of Theorem znleval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2		znle2.f	. . . . . . 7 |- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
3		znle2.w	. . . . . . 7 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
4		znle2.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` Y )
5	1, 2, 3, 4	znle2 14458	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
6		relco 5186	. . . . . . . 8 |- Rel ( ( F o. <_ ) o. `' F )
7		relssdmrn 5208	. . . . . . . 8 |- ( Rel ( ( F o. <_ ) o. `' F ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
9		dmcoss 4953	. . . . . . . . 9 |- dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ dom `' F
10		df-rn 4690	. . . . . . . . . 10 |- ran F = dom `' F
11		znleval.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = ( Base ` Y )
12	1, 11, 2, 3	znf1o 14457	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> X )
13		f1ofo 5536	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -1-1-onto-> X -> F : W -onto-> X )
14		forn 5508	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -onto-> X -> ran F = X )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ran F = X )
16	10, 15	eqtr3id 2253	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> dom `' F = X )
17	9, 16	sseqtrid 3244	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X )
18		rncoss 4954	. . . . . . . . 9 |- ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ran ( F o. <_ )
19		rncoss 4954	. . . . . . . . . 10 |- ran ( F o. <_ ) C_ ran F
20	19, 15	sseqtrid 3244	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ran ( F o. <_ ) C_ X )
21	18, 20	sstrid 3205	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X )
22		xpss12 4786	. . . . . . . 8 |- ( ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X /\ ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X ) -> ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) C_ ( X X. X ) )
23	17, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) C_ ( X X. X ) )
24	8, 23	sstrid 3205	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( X X. X ) )
25	5, 24	eqsstrd 3230	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> .<_ C_ ( X X. X ) )
26	25	ssbrd 4090	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B -> A ( X X. X ) B ) )
27		brxp 4710	. . . 4 |- ( A ( X X. X ) B <-> ( A e. X /\ B e. X ) )
28	26, 27	imbitrdi 161	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B -> ( A e. X /\ B e. X ) ) )
29	28	pm4.71rd 394	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) ) )
30	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
31	30	breqd 4058	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A .<_ B <-> A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B ) )
32		brcog 4849	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
33	32	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
34		eqcom 2208	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F ` A ) <-> ( `' F ` A ) = x )
35	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> F : W -1-1-onto-> X )
36		f1ocnv 5542	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -1-1-onto-> X -> `' F : X -1-1-onto-> W )
37		f1ofn 5530	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F : X -1-1-onto-> W -> `' F Fn X )
38	35, 36, 37	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> `' F Fn X )
39		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> A e. X )
40		fnbrfvb 5626	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F Fn X /\ A e. X ) -> ( ( `' F ` A ) = x <-> A `' F x ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) = x <-> A `' F x ) )
42	34, 41	bitr2id 193	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A `' F x <-> x = ( `' F ` A ) ) )
43	42	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
44	43	exbidv 1849	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
45	33, 44	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
46	1	zncrng 14451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
47		eqid 2206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
48	47	zrhex 14427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. CRing -> ( ZRHom ` Y ) e. _V )
49		resexg 5004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. _V -> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) e. _V )
50	46, 48, 49	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) e. _V )
51	2, 50	eqeltrid 2293	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> F e. _V )
52		cnvexg 5225	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. _V -> `' F e. _V )
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> `' F e. _V )
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> `' F e. _V )
55		fvexg 5602	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F e. _V /\ A e. X ) -> ( `' F ` A ) e. _V )
56	54, 39, 55	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( `' F ` A ) e. _V )
57		breq1 4050	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F ` A ) -> ( x ( F o. <_ ) B <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
58	57	ceqsexgv 2903	. . . . . . 7 |- ( ( `' F ` A ) e. _V -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
59	56, 58	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
60		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> B e. X )
61		brcog 4849	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F ` A ) e. _V /\ B e. X ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
62	56, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
63		eqcom 2208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F ` B ) <-> ( `' F ` B ) = x )
64		fnbrfvb 5626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F Fn X /\ B e. X ) -> ( ( `' F ` B ) = x <-> B `' F x ) )
65	38, 60, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` B ) = x <-> B `' F x ) )
66	63, 65	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( x = ( `' F ` B ) <-> B `' F x ) )
67		vex 2776	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
68		brcnvg 4863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. X /\ x e. _V ) -> ( B `' F x <-> x F B ) )
69	60, 67, 68	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( B `' F x <-> x F B ) )
70	66, 69	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( x = ( `' F ` B ) <-> x F B ) )
71	70	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( x F B /\ ( `' F ` A ) <_ x ) ) )
72	71	biancomd 271	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
73	72	exbidv 1849	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
74		fvexg 5602	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F e. _V /\ B e. X ) -> ( `' F ` B ) e. _V )
75	54, 60, 74	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( `' F ` B ) e. _V )
76		breq2 4051	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F ` B ) -> ( ( `' F ` A ) <_ x <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
77	76	ceqsexgv 2903	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F ` B ) e. _V -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
78	75, 77	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
79	62, 73, 78	3bitr2d 216	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
80	59, 79	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
81	31, 45, 80	3bitrd 214	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A .<_ B <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
82	81	pm5.32da 452	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )
83		df-3an 983	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
84	82, 83	bitr4di 198	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )
85	29, 84	bitrd 188	1 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   C_ wss 3167   ifcif 3572   class class class wbr 4047   X. cxp 4677   `'ccnv 4678   dom cdm 4679   ran crn 4680   |` cres 4681   o. ccom 4683   Rel wrel 4684   Fn wfn 5271   -onto->wfo 5274   -1-1-onto->wf1o 5275   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   0cc0 7932   <_ cle 8115   NN0cn0 9302   ZZcz 9379  ..^cfzo 10271   Basecbs 12876   lecple 12960   CRingccrg 13803   ZRHomczrh 14417  ℤ/nℤczn 14419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-addf 8054  ax-mulf 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-tpos 6338  df-recs 6398  df-frec 6484  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-map 6744  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-cj 11197  df-abs 11354  df-dvds 12143  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-starv 12968  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975  df-unif 12976  df-0g 13134  df-topgen 13136  df-iimas 13178  df-qus 13179  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-mhm 13335  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381  df-mulg 13500  df-subg 13550  df-nsg 13551  df-eqg 13552  df-ghm 13621  df-cmn 13666  df-abl 13667  df-mgp 13727  df-rng 13739  df-ur 13766  df-srg 13770  df-ring 13804  df-cring 13805  df-oppr 13874  df-dvdsr 13895  df-rhm 13958  df-subrg 14025  df-lmod 14095  df-lssm 14159  df-lsp 14193  df-sra 14241  df-rgmod 14242  df-lidl 14275  df-rsp 14276  df-2idl 14306  df-bl 14352  df-mopn 14353  df-fg 14355  df-metu 14356  df-cnfld 14363  df-zring 14397  df-zrh 14420  df-zn 14422

This theorem is referenced by:  znleval2  14460