Theorem znleval 14691

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znle2.f	|- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
znle2.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
znle2.l	|- .<_ = ( le ` Y )
znleval.x	|- X = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znleval	|- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )

Proof of Theorem znleval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2		znle2.f	. . . . . . 7 |- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
3		znle2.w	. . . . . . 7 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
4		znle2.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` Y )
5	1, 2, 3, 4	znle2 14690	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
6		relco 5237	. . . . . . . 8 |- Rel ( ( F o. <_ ) o. `' F )
7		relssdmrn 5259	. . . . . . . 8 |- ( Rel ( ( F o. <_ ) o. `' F ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
9		dmcoss 5004	. . . . . . . . 9 |- dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ dom `' F
10		df-rn 4738	. . . . . . . . . 10 |- ran F = dom `' F
11		znleval.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = ( Base ` Y )
12	1, 11, 2, 3	znf1o 14689	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> X )
13		f1ofo 5593	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -1-1-onto-> X -> F : W -onto-> X )
14		forn 5565	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -onto-> X -> ran F = X )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ran F = X )
16	10, 15	eqtr3id 2277	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> dom `' F = X )
17	9, 16	sseqtrid 3276	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X )
18		rncoss 5005	. . . . . . . . 9 |- ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ran ( F o. <_ )
19		rncoss 5005	. . . . . . . . . 10 |- ran ( F o. <_ ) C_ ran F
20	19, 15	sseqtrid 3276	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ran ( F o. <_ ) C_ X )
21	18, 20	sstrid 3237	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X )
22		xpss12 4835	. . . . . . . 8 |- ( ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X /\ ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X ) -> ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) C_ ( X X. X ) )
23	17, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) C_ ( X X. X ) )
24	8, 23	sstrid 3237	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( X X. X ) )
25	5, 24	eqsstrd 3262	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> .<_ C_ ( X X. X ) )
26	25	ssbrd 4132	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B -> A ( X X. X ) B ) )
27		brxp 4758	. . . 4 |- ( A ( X X. X ) B <-> ( A e. X /\ B e. X ) )
28	26, 27	imbitrdi 161	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B -> ( A e. X /\ B e. X ) ) )
29	28	pm4.71rd 394	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) ) )
30	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
31	30	breqd 4100	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A .<_ B <-> A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B ) )
32		brcog 4899	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
33	32	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
34		eqcom 2232	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F ` A ) <-> ( `' F ` A ) = x )
35	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> F : W -1-1-onto-> X )
36		f1ocnv 5599	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -1-1-onto-> X -> `' F : X -1-1-onto-> W )
37		f1ofn 5587	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F : X -1-1-onto-> W -> `' F Fn X )
38	35, 36, 37	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> `' F Fn X )
39		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> A e. X )
40		fnbrfvb 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F Fn X /\ A e. X ) -> ( ( `' F ` A ) = x <-> A `' F x ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) = x <-> A `' F x ) )
42	34, 41	bitr2id 193	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A `' F x <-> x = ( `' F ` A ) ) )
43	42	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
44	43	exbidv 1872	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
45	33, 44	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
46	1	zncrng 14683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
47		eqid 2230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
48	47	zrhex 14659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. CRing -> ( ZRHom ` Y ) e. _V )
49		resexg 5055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. _V -> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) e. _V )
50	46, 48, 49	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) e. _V )
51	2, 50	eqeltrid 2317	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> F e. _V )
52		cnvexg 5276	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. _V -> `' F e. _V )
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> `' F e. _V )
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> `' F e. _V )
55		fvexg 5661	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F e. _V /\ A e. X ) -> ( `' F ` A ) e. _V )
56	54, 39, 55	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( `' F ` A ) e. _V )
57		breq1 4092	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F ` A ) -> ( x ( F o. <_ ) B <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
58	57	ceqsexgv 2934	. . . . . . 7 |- ( ( `' F ` A ) e. _V -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
59	56, 58	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
60		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> B e. X )
61		brcog 4899	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F ` A ) e. _V /\ B e. X ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
62	56, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
63		eqcom 2232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F ` B ) <-> ( `' F ` B ) = x )
64		fnbrfvb 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F Fn X /\ B e. X ) -> ( ( `' F ` B ) = x <-> B `' F x ) )
65	38, 60, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` B ) = x <-> B `' F x ) )
66	63, 65	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( x = ( `' F ` B ) <-> B `' F x ) )
67		vex 2804	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
68		brcnvg 4913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. X /\ x e. _V ) -> ( B `' F x <-> x F B ) )
69	60, 67, 68	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( B `' F x <-> x F B ) )
70	66, 69	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( x = ( `' F ` B ) <-> x F B ) )
71	70	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( x F B /\ ( `' F ` A ) <_ x ) ) )
72	71	biancomd 271	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
73	72	exbidv 1872	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
74		fvexg 5661	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F e. _V /\ B e. X ) -> ( `' F ` B ) e. _V )
75	54, 60, 74	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( `' F ` B ) e. _V )
76		breq2 4093	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F ` B ) -> ( ( `' F ` A ) <_ x <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
77	76	ceqsexgv 2934	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F ` B ) e. _V -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
78	75, 77	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
79	62, 73, 78	3bitr2d 216	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
80	59, 79	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
81	31, 45, 80	3bitrd 214	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A .<_ B <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
82	81	pm5.32da 452	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )
83		df-3an 1006	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
84	82, 83	bitr4di 198	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )
85	29, 84	bitrd 188	1 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2201   _Vcvv 2801   C_ wss 3199   ifcif 3604   class class class wbr 4089   X. cxp 4725   `'ccnv 4726   dom cdm 4727   ran crn 4728   |` cres 4729   o. ccom 4731   Rel wrel 4732   Fn wfn 5323   -onto->wfo 5326   -1-1-onto->wf1o 5327   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   0cc0 8037   <_ cle 8220   NN0cn0 9407   ZZcz 9484  ..^cfzo 10382   Basecbs 13105   lecple 13190   CRingccrg 14034   ZRHomczrh 14649  ℤ/nℤczn 14651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-addf 8159  ax-mulf 8160

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6416  df-recs 6476  df-frec 6562  df-er 6707  df-ec 6709  df-qs 6713  df-map 6824  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-cj 11425  df-abs 11582  df-dvds 12372  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-starv 13198  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-unif 13206  df-0g 13364  df-topgen 13366  df-iimas 13408  df-qus 13409  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-mhm 13565  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-sbg 13611  df-mulg 13730  df-subg 13780  df-nsg 13781  df-eqg 13782  df-ghm 13851  df-cmn 13896  df-abl 13897  df-mgp 13958  df-rng 13970  df-ur 13997  df-srg 14001  df-ring 14035  df-cring 14036  df-oppr 14105  df-dvdsr 14126  df-rhm 14190  df-subrg 14257  df-lmod 14327  df-lssm 14391  df-lsp 14425  df-sra 14473  df-rgmod 14474  df-lidl 14507  df-rsp 14508  df-2idl 14538  df-bl 14584  df-mopn 14585  df-fg 14587  df-metu 14588  df-cnfld 14595  df-zring 14629  df-zrh 14652  df-zn 14654

This theorem is referenced by:  znleval2  14692