Theorem znleval 14141

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znle2.f	|- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
znle2.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
znle2.l	|- .<_ = ( le ` Y )
znleval.x	|- X = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znleval	|- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )

Proof of Theorem znleval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2		znle2.f	. . . . . . 7 |- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
3		znle2.w	. . . . . . 7 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
4		znle2.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` Y )
5	1, 2, 3, 4	znle2 14140	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
6		relco 5164	. . . . . . . 8 |- Rel ( ( F o. <_ ) o. `' F )
7		relssdmrn 5186	. . . . . . . 8 |- ( Rel ( ( F o. <_ ) o. `' F ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
9		dmcoss 4931	. . . . . . . . 9 |- dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ dom `' F
10		df-rn 4670	. . . . . . . . . 10 |- ran F = dom `' F
11		znleval.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = ( Base ` Y )
12	1, 11, 2, 3	znf1o 14139	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> X )
13		f1ofo 5507	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -1-1-onto-> X -> F : W -onto-> X )
14		forn 5479	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -onto-> X -> ran F = X )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ran F = X )
16	10, 15	eqtr3id 2240	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> dom `' F = X )
17	9, 16	sseqtrid 3229	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X )
18		rncoss 4932	. . . . . . . . 9 |- ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ran ( F o. <_ )
19		rncoss 4932	. . . . . . . . . 10 |- ran ( F o. <_ ) C_ ran F
20	19, 15	sseqtrid 3229	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ran ( F o. <_ ) C_ X )
21	18, 20	sstrid 3190	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X )
22		xpss12 4766	. . . . . . . 8 |- ( ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X /\ ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X ) -> ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) C_ ( X X. X ) )
23	17, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) C_ ( X X. X ) )
24	8, 23	sstrid 3190	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( X X. X ) )
25	5, 24	eqsstrd 3215	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> .<_ C_ ( X X. X ) )
26	25	ssbrd 4072	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B -> A ( X X. X ) B ) )
27		brxp 4690	. . . 4 |- ( A ( X X. X ) B <-> ( A e. X /\ B e. X ) )
28	26, 27	imbitrdi 161	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B -> ( A e. X /\ B e. X ) ) )
29	28	pm4.71rd 394	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) ) )
30	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
31	30	breqd 4040	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A .<_ B <-> A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B ) )
32		brcog 4829	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
33	32	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
34		eqcom 2195	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F ` A ) <-> ( `' F ` A ) = x )
35	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> F : W -1-1-onto-> X )
36		f1ocnv 5513	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -1-1-onto-> X -> `' F : X -1-1-onto-> W )
37		f1ofn 5501	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F : X -1-1-onto-> W -> `' F Fn X )
38	35, 36, 37	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> `' F Fn X )
39		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> A e. X )
40		fnbrfvb 5597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F Fn X /\ A e. X ) -> ( ( `' F ` A ) = x <-> A `' F x ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) = x <-> A `' F x ) )
42	34, 41	bitr2id 193	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A `' F x <-> x = ( `' F ` A ) ) )
43	42	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
44	43	exbidv 1836	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
45	33, 44	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
46	1	zncrng 14133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
47		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
48	47	zrhex 14109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. CRing -> ( ZRHom ` Y ) e. _V )
49		resexg 4982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. _V -> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) e. _V )
50	46, 48, 49	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) e. _V )
51	2, 50	eqeltrid 2280	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> F e. _V )
52		cnvexg 5203	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. _V -> `' F e. _V )
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> `' F e. _V )
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> `' F e. _V )
55		fvexg 5573	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F e. _V /\ A e. X ) -> ( `' F ` A ) e. _V )
56	54, 39, 55	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( `' F ` A ) e. _V )
57		breq1 4032	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F ` A ) -> ( x ( F o. <_ ) B <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
58	57	ceqsexgv 2889	. . . . . . 7 |- ( ( `' F ` A ) e. _V -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
59	56, 58	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
60		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> B e. X )
61		brcog 4829	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F ` A ) e. _V /\ B e. X ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
62	56, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
63		eqcom 2195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F ` B ) <-> ( `' F ` B ) = x )
64		fnbrfvb 5597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F Fn X /\ B e. X ) -> ( ( `' F ` B ) = x <-> B `' F x ) )
65	38, 60, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` B ) = x <-> B `' F x ) )
66	63, 65	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( x = ( `' F ` B ) <-> B `' F x ) )
67		vex 2763	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
68		brcnvg 4843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. X /\ x e. _V ) -> ( B `' F x <-> x F B ) )
69	60, 67, 68	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( B `' F x <-> x F B ) )
70	66, 69	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( x = ( `' F ` B ) <-> x F B ) )
71	70	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( x F B /\ ( `' F ` A ) <_ x ) ) )
72	71	biancomd 271	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
73	72	exbidv 1836	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
74		fvexg 5573	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F e. _V /\ B e. X ) -> ( `' F ` B ) e. _V )
75	54, 60, 74	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( `' F ` B ) e. _V )
76		breq2 4033	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F ` B ) -> ( ( `' F ` A ) <_ x <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
77	76	ceqsexgv 2889	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F ` B ) e. _V -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
78	75, 77	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
79	62, 73, 78	3bitr2d 216	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
80	59, 79	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
81	31, 45, 80	3bitrd 214	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A .<_ B <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
82	81	pm5.32da 452	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )
83		df-3an 982	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
84	82, 83	bitr4di 198	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )
85	29, 84	bitrd 188	1 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   ifcif 3557   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   ran crn 4660   |` cres 4661   o. ccom 4663   Rel wrel 4664   Fn wfn 5249   -onto->wfo 5252   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   <_ cle 8055   NN0cn0 9240   ZZcz 9317  ..^cfzo 10208   Basecbs 12618   lecple 12702   CRingccrg 13493   ZRHomczrh 14099  ℤ/nℤczn 14101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-recs 6358  df-frec 6444  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-cj 10986  df-dvds 11931  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-starv 12710  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-ple 12715  df-0g 12869  df-iimas 12885  df-qus 12886  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mhm 13031  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-mulg 13190  df-subg 13240  df-nsg 13241  df-eqg 13242  df-ghm 13311  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-rng 13429  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-cring 13495  df-oppr 13564  df-dvdsr 13585  df-rhm 13648  df-subrg 13715  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-lsp 13883  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965  df-rsp 13966  df-2idl 13996  df-icnfld 14048  df-zring 14079  df-zrh 14102  df-zn 14104

This theorem is referenced by:  znleval2  14142