Theorem 4t3lem 9480

Description: Lemma for 4t3e12 9481 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
4t3lem.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4t3lem.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4t3lem.3	⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
4t3lem.4	⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
4t3lem.5	⊢ (𝐷 + 𝐴) = 𝐸

Assertion

Ref	Expression
4t3lem	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Proof of Theorem 4t3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4t3lem.3	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
2	1	oveq2i 5886	. 2 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 + 1))
3		4t3lem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 9188	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		4t3lem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 9188	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7		ax-1cn 7904	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	4, 6, 7	adddii 7967	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1))
9		4t3lem.4	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
10	4	mulid1i 7959	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
11	9, 10	oveq12i 5887	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1)) = (𝐷 + 𝐴)
12	8, 11	eqtri 2198	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = (𝐷 + 𝐴)
13		4t3lem.5	. . 3 ⊢ (𝐷 + 𝐴) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2198	. 2 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = 𝐸
15	2, 14	eqtri 2198	1 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5875  1c1 7812   + caddc 7814   · cmul 7816  ℕ₀cn0 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulcom 7912  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-1rid 7918  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-inn 8920  df-n0 9177

This theorem is referenced by:  4t3e12  9481  4t4e16  9482  5t2e10  9483  5t3e15  9484  5t4e20  9485  5t5e25  9486  6t3e18  9488  6t4e24  9489  6t5e30  9490  6t6e36  9491  7t3e21  9493  7t4e28  9494  7t5e35  9495  7t6e42  9496  7t7e49  9497  8t3e24  9499  8t4e32  9500  8t5e40  9501  8t6e48  9502  8t7e56  9503  8t8e64  9504  9t3e27  9506  9t4e36  9507  9t5e45  9508  9t6e54  9509  9t7e63  9510  9t8e72  9511  9t9e81  9512