Theorem 4t3lem 9302

Description: Lemma for 4t3e12 9303 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
4t3lem.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4t3lem.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4t3lem.3	⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
4t3lem.4	⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
4t3lem.5	⊢ (𝐷 + 𝐴) = 𝐸

Assertion

Ref	Expression
4t3lem	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Proof of Theorem 4t3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4t3lem.3	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
2	1	oveq2i 5793	. 2 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 + 1))
3		4t3lem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 9013	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		4t3lem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 9013	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7		ax-1cn 7737	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	4, 6, 7	adddii 7800	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1))
9		4t3lem.4	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
10	4	mulid1i 7792	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
11	9, 10	oveq12i 5794	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1)) = (𝐷 + 𝐴)
12	8, 11	eqtri 2161	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = (𝐷 + 𝐴)
13		4t3lem.5	. . 3 ⊢ (𝐷 + 𝐴) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2161	. 2 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = 𝐸
15	2, 14	eqtri 2161	1 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Syntax hints:   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  (class class class)co 5782  1c1 7645   + caddc 7647   · cmul 7649  ℕ₀cn0 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulcom 7745  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-1rid 7751  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-inn 8745  df-n0 9002

This theorem is referenced by:  4t3e12  9303  4t4e16  9304  5t2e10  9305  5t3e15  9306  5t4e20  9307  5t5e25  9308  6t3e18  9310  6t4e24  9311  6t5e30  9312  6t6e36  9313  7t3e21  9315  7t4e28  9316  7t5e35  9317  7t6e42  9318  7t7e49  9319  8t3e24  9321  8t4e32  9322  8t5e40  9323  8t6e48  9324  8t7e56  9325  8t8e64  9326  9t3e27  9328  9t4e36  9329  9t5e45  9330  9t6e54  9331  9t7e63  9332  9t8e72  9333  9t9e81  9334