Theorem 4t3lem 9370

Description: Lemma for 4t3e12 9371 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
4t3lem.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4t3lem.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4t3lem.3	⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
4t3lem.4	⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
4t3lem.5	⊢ (𝐷 + 𝐴) = 𝐸

Assertion

Ref	Expression
4t3lem	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Proof of Theorem 4t3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4t3lem.3	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐵 + 1)
2	1	oveq2i 5825	. 2 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 + 1))
3		4t3lem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 9081	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		4t3lem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 9081	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7		ax-1cn 7804	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	4, 6, 7	adddii 7867	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1))
9		4t3lem.4	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
10	4	mulid1i 7859	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
11	9, 10	oveq12i 5826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1)) = (𝐷 + 𝐴)
12	8, 11	eqtri 2175	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = (𝐷 + 𝐴)
13		4t3lem.5	. . 3 ⊢ (𝐷 + 𝐴) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2175	. 2 ⊢ (𝐴 · (𝐵 + 1)) = 𝐸
15	2, 14	eqtri 2175	1 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Syntax hints:   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  (class class class)co 5814  1c1 7712   + caddc 7714   · cmul 7716  ℕ₀cn0 9069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulcom 7812  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-1rid 7818  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3962  df-iota 5128  df-fv 5171  df-ov 5817  df-inn 8813  df-n0 9070

This theorem is referenced by:  4t3e12  9371  4t4e16  9372  5t2e10  9373  5t3e15  9374  5t4e20  9375  5t5e25  9376  6t3e18  9378  6t4e24  9379  6t5e30  9380  6t6e36  9381  7t3e21  9383  7t4e28  9384  7t5e35  9385  7t6e42  9386  7t7e49  9387  8t3e24  9389  8t4e32  9390  8t5e40  9391  8t6e48  9392  8t7e56  9393  8t8e64  9394  9t3e27  9396  9t4e36  9397  9t5e45  9398  9t6e54  9399  9t7e63  9400  9t8e72  9401  9t9e81  9402