Theorem 9t3e27 9735

Description: 9 times 3 equals 27. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
9t3e27	⊢ (9 · 3) = ;27

Proof of Theorem 9t3e27

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 9428	. 2 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		2nn0 9421	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		df-3 9205	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
4		9t2e18 9734	. 2 ⊢ (9 · 2) = ;18
5		1nn0 9420	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		8nn0 9427	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		eqid 2230	. . 3 ⊢ ;18 = ;18
8		1p1e2 9262	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
9		7nn0 9426	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
10	1	nn0cni 9416	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	6	nn0cni 9416	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
12		9p8e17 9705	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
13	10, 11, 12	addcomli 8326	. . 3 ⊢ (8 + 9) = ;17
14	5, 6, 1, 7, 8, 9, 13	decaddci 9673	. 2 ⊢ (;18 + 9) = ;27
15	1, 2, 3, 4, 14	4t3lem 9709	1 ⊢ (9 · 3) = ;27

Syntax hints:   = wceq 1397  (class class class)co 6020  1c1 8035   · cmul 8039  2c2 9196  3c3 9197  7c7 9201  8c8 9202  9c9 9203  ;cdc 9613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-cnre 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-br 4088  df-opab 4150  df-id 4389  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-sub 8354  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-4 9206  df-5 9207  df-6 9208  df-7 9209  df-8 9210  df-9 9211  df-n0 9405  df-dec 9614

This theorem is referenced by:  9t4e36  9736  3exp3  13031