Theorem 9t3e27 9700

Description: 9 times 3 equals 27. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
9t3e27	⊢ (9 · 3) = ;27

Proof of Theorem 9t3e27

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 9393	. 2 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		2nn0 9386	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		df-3 9170	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
4		9t2e18 9699	. 2 ⊢ (9 · 2) = ;18
5		1nn0 9385	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		8nn0 9392	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		eqid 2229	. . 3 ⊢ ;18 = ;18
8		1p1e2 9227	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
9		7nn0 9391	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
10	1	nn0cni 9381	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	6	nn0cni 9381	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
12		9p8e17 9670	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
13	10, 11, 12	addcomli 8291	. . 3 ⊢ (8 + 9) = ;17
14	5, 6, 1, 7, 8, 9, 13	decaddci 9638	. 2 ⊢ (;18 + 9) = ;27
15	1, 2, 3, 4, 14	4t3lem 9674	1 ⊢ (9 · 3) = ;27

Syntax hints:   = wceq 1395  (class class class)co 6001  1c1 8000   · cmul 8004  2c2 9161  3c3 9162  7c7 9166  8c8 9167  9c9 9168  ;cdc 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-dec 9579

This theorem is referenced by:  9t4e36  9701  3exp3  12961