Theorem 9t3e27 9444

Description: 9 times 3 equals 27. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
9t3e27	⊢ (9 · 3) = ;27

Proof of Theorem 9t3e27

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 9138	. 2 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		2nn0 9131	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		df-3 8917	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
4		9t2e18 9443	. 2 ⊢ (9 · 2) = ;18
5		1nn0 9130	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		8nn0 9137	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		eqid 2165	. . 3 ⊢ ;18 = ;18
8		1p1e2 8974	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
9		7nn0 9136	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
10	1	nn0cni 9126	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	6	nn0cni 9126	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
12		9p8e17 9414	. . . 4 ⊢ (9 + 8) = ;17
13	10, 11, 12	addcomli 8043	. . 3 ⊢ (8 + 9) = ;17
14	5, 6, 1, 7, 8, 9, 13	decaddci 9382	. 2 ⊢ (;18 + 9) = ;27
15	1, 2, 3, 4, 14	4t3lem 9418	1 ⊢ (9 · 3) = ;27

Syntax hints:   = wceq 1343  (class class class)co 5842  1c1 7754   · cmul 7758  2c2 8908  3c3 8909  7c7 8913  8c8 8914  9c9 8915  ;cdc 9322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-dec 9323

This theorem is referenced by:  9t4e36  9445