ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnqg GIF version

Theorem addassnqg 7333
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnqg ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ((𝐴 +Q 𝐵) +Q 𝐶) = (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐶)))

Proof of Theorem addassnqg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7299 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 7321 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3 addpipqqs 7321 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
4 addpipqqs 7321 . 2 (((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢)⟩] ~Q )
5 addpipqqs 7321 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
6 mulclpi 7279 . . . . 5 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
76ad2ant2rl 508 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
8 mulclpi 7279 . . . . 5 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
98ad2ant2lr 507 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
10 addclpi 7278 . . . 4 (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
117, 9, 10syl2anc 409 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
12 mulclpi 7279 . . . 4 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1312ad2ant2l 505 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1411, 13jca 304 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
15 mulclpi 7279 . . . . 5 ((𝑧N𝑢N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
1615ad2ant2rl 508 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
17 mulclpi 7279 . . . . 5 ((𝑤N𝑣N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
1817ad2ant2lr 507 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
19 addclpi 7278 . . . 4 (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
2016, 18, 19syl2anc 409 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
21 mulclpi 7279 . . . 4 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2221ad2ant2l 505 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2320, 22jca 304 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
24 simp1l 1016 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑥N)
25 simp2r 1019 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑤N)
26 simp3r 1021 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑢N)
2725, 26, 21syl2anc 409 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
28 mulclpi 7279 . . . . 5 ((𝑥N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
2924, 27, 28syl2anc 409 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
30 simp1r 1017 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑦N)
31 simp2l 1018 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑧N)
3231, 26, 15syl2anc 409 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
33 mulclpi 7279 . . . . 5 ((𝑦N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N)
3430, 32, 33syl2anc 409 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N)
35 simp3l 1020 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑣N)
3625, 35, 17syl2anc 409 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
37 mulclpi 7279 . . . . 5 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
3830, 36, 37syl2anc 409 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
39 addasspig 7281 . . . 4 (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
4029, 34, 38, 39syl3anc 1233 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
41 mulcompig 7282 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
4241adantl 275 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
43 distrpig 7284 . . . . . . . 8 ((N𝑓N𝑔N) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = (( ·N 𝑓) +N ( ·N 𝑔)))
44433coml 1205 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = (( ·N 𝑓) +N ( ·N 𝑔)))
45 addclpi 7278 . . . . . . . . . 10 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 +N 𝑔) ∈ N)
46 mulcompig 7282 . . . . . . . . . 10 ((N ∧ (𝑓 +N 𝑔) ∈ N) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
4745, 46sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((N ∧ (𝑓N𝑔N)) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
4847ancoms 266 . . . . . . . 8 (((𝑓N𝑔N) ∧ N) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
49483impa 1189 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
50 mulcompig 7282 . . . . . . . . . 10 ((N𝑓N) → ( ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ))
5150ancoms 266 . . . . . . . . 9 ((𝑓NN) → ( ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ))
52513adant2 1011 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ))
53 mulcompig 7282 . . . . . . . . . 10 ((N𝑔N) → ( ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ))
5453ancoms 266 . . . . . . . . 9 ((𝑔NN) → ( ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ))
55543adant1 1010 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ))
5652, 55oveq12d 5869 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔NN) → (( ·N 𝑓) +N ( ·N 𝑔)) = ((𝑓 ·N ) +N (𝑔 ·N )))
5744, 49, 563eqtr3d 2211 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 +N 𝑔) ·N ) = ((𝑓 ·N ) +N (𝑔 ·N )))
5857adantl 275 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 +N 𝑔) ·N ) = ((𝑓 ·N ) +N (𝑔 ·N )))
59 mulasspig 7283 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
6059adantl 275 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
61 mulclpi 7279 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6261adantl 275 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6342, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26caovdilemd 6042 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))))
64 mulasspig 7283 . . . . . . 7 ((𝑦N𝑤N𝑣N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
65643adant1l 1225 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ 𝑤N𝑣N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
66653adant2l 1227 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ 𝑣N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
67663adant3r 1230 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
6863, 67oveq12d 5869 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)) = (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
69 distrpig 7284 . . . . 5 ((𝑦N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
7030, 32, 36, 69syl3anc 1233 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
7170oveq2d 5867 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
7240, 68, 713eqtr4d 2213 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
73 mulasspig 7283 . . . . 5 ((𝑦N𝑤N𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
74733adant1l 1225 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ 𝑤N𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
75743adant2l 1227 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ 𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
76753adant3l 1229 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
771, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76ecoviass 6620 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ((𝐴 +Q 𝐵) +Q 𝐶) = (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  (class class class)co 5851  Ncnpi 7223   +N cpli 7224   ·N cmi 7225   ~Q ceq 7230  Qcnq 7231   +Q cplq 7233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-oadd 6397  df-omul 6398  df-er 6510  df-ec 6512  df-qs 6516  df-ni 7255  df-pli 7256  df-mi 7257  df-plpq 7295  df-enq 7298  df-nqqs 7299  df-plqqs 7300
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7358  addlocprlemeqgt  7483  addassprg  7530  ltexprlemloc  7558  ltexprlemrl  7561  ltexprlemru  7563  addcanprleml  7565  addcanprlemu  7566  cauappcvgprlemdisj  7602  cauappcvgprlemloc  7603  cauappcvgprlemladdfl  7606  cauappcvgprlemladdru  7607  cauappcvgprlemladdrl  7608  cauappcvgprlem1  7610  caucvgprlemloc  7626  caucvgprlemladdrl  7629  caucvgprprlemloccalc  7635
  Copyright terms: Public domain W3C validator