Theorem addassnqg 7372

Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnqg	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((𝐴 +Q 𝐵) +Q 𝐶) = (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐶)))

Proof of Theorem addassnqg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7338	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		addpipqqs 7360	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3		addpipqqs 7360	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
4		addpipqqs 7360	. 2 ⊢ (((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢)⟩] ~Q )
5		addpipqqs 7360	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
6		mulclpi 7318	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
7	6	ad2ant2rl 511	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
8		mulclpi 7318	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
9	8	ad2ant2lr 510	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
10		addclpi 7317	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
12		mulclpi 7318	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
13	12	ad2ant2l 508	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
14	11, 13	jca 306	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
15		mulclpi 7318	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
16	15	ad2ant2rl 511	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
17		mulclpi 7318	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
18	17	ad2ant2lr 510	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
19		addclpi 7317	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
21		mulclpi 7318	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
22	21	ad2ant2l 508	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
23	20, 22	jca 306	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
24		simp1l 1021	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑥 ∈ N)
25		simp2r 1024	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑤 ∈ N)
26		simp3r 1026	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑢 ∈ N)
27	25, 26, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
28		mulclpi 7318	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
29	24, 27, 28	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
30		simp1r 1022	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑦 ∈ N)
31		simp2l 1023	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑧 ∈ N)
32	31, 26, 15	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
33		mulclpi 7318	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N)
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N)
35		simp3l 1025	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑣 ∈ N)
36	25, 35, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
37		mulclpi 7318	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
38	30, 36, 37	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
39		addasspig 7320	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
40	29, 34, 38, 39	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
41		mulcompig 7321	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
42	41	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
43		distrpig 7323	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (ℎ ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((ℎ ·N 𝑓) +N (ℎ ·N 𝑔)))
44	43	3coml 1210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((ℎ ·N 𝑓) +N (ℎ ·N 𝑔)))
45		addclpi 7317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (𝑓 +N 𝑔) ∈ N)
46		mulcompig 7321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℎ ∈ N ∧ (𝑓 +N 𝑔) ∈ N) → (ℎ ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ℎ))
47	45, 46	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℎ ∈ N ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (ℎ ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ℎ))
48	47	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ℎ))
49	48	3impa 1194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ℎ))
50		mulcompig 7321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℎ ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → (ℎ ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ℎ))
51	50	ancoms 268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ℎ))
52	51	3adant2 1016	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ℎ))
53		mulcompig 7321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℎ ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (ℎ ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ℎ))
54	53	ancoms 268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ℎ))
55	54	3adant1 1015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ℎ))
56	52, 55	oveq12d 5887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → ((ℎ ·N 𝑓) +N (ℎ ·N 𝑔)) = ((𝑓 ·N ℎ) +N (𝑔 ·N ℎ)))
57	44, 49, 56	3eqtr3d 2218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → ((𝑓 +N 𝑔) ·N ℎ) = ((𝑓 ·N ℎ) +N (𝑔 ·N ℎ)))
58	57	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((𝑓 +N 𝑔) ·N ℎ) = ((𝑓 ·N ℎ) +N (𝑔 ·N ℎ)))
59		mulasspig 7322	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ℎ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N ℎ)))
60	59	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ℎ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N ℎ)))
61		mulclpi 7318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
62	61	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
63	42, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26	caovdilemd 6060	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))))
64		mulasspig 7322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
65	64	3adant1l 1230	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
66	65	3adant2l 1232	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
67	66	3adant3r 1235	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
68	63, 67	oveq12d 5887	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)) = (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
69		distrpig 7323	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
70	30, 32, 36, 69	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
71	70	oveq2d 5885	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
72	40, 68, 71	3eqtr4d 2220	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
73		mulasspig 7322	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
74	73	3adant1l 1230	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
75	74	3adant2l 1232	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
76	75	3adant3l 1234	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
77	1, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76	ecoviass 6639	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((𝐴 +Q 𝐵) +Q 𝐶) = (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5869  Ncnpi 7262   +_N cpli 7263   ·_N cmi 7264   ~_Q ceq 7269  Qcnq 7270   +_Q cplq 7272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-plpq 7334  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7397  addlocprlemeqgt  7522  addassprg  7569  ltexprlemloc  7597  ltexprlemrl  7600  ltexprlemru  7602  addcanprleml  7604  addcanprlemu  7605  cauappcvgprlemdisj  7641  cauappcvgprlemloc  7642  cauappcvgprlemladdfl  7645  cauappcvgprlemladdru  7646  cauappcvgprlemladdrl  7647  cauappcvgprlem1  7649  caucvgprlemloc  7665  caucvgprlemladdrl  7668  caucvgprprlemloccalc  7674