ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnqg GIF version

Theorem addassnqg 7038
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnqg ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ((𝐴 +Q 𝐵) +Q 𝐶) = (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐶)))

Proof of Theorem addassnqg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7004 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 7026 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3 addpipqqs 7026 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
4 addpipqqs 7026 . 2 (((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢)⟩] ~Q )
5 addpipqqs 7026 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
6 mulclpi 6984 . . . . 5 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
76ad2ant2rl 496 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
8 mulclpi 6984 . . . . 5 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
98ad2ant2lr 495 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
10 addclpi 6983 . . . 4 (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
117, 9, 10syl2anc 404 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
12 mulclpi 6984 . . . 4 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1312ad2ant2l 493 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1411, 13jca 301 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
15 mulclpi 6984 . . . . 5 ((𝑧N𝑢N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
1615ad2ant2rl 496 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
17 mulclpi 6984 . . . . 5 ((𝑤N𝑣N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
1817ad2ant2lr 495 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
19 addclpi 6983 . . . 4 (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
2016, 18, 19syl2anc 404 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
21 mulclpi 6984 . . . 4 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2221ad2ant2l 493 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2320, 22jca 301 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
24 simp1l 970 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑥N)
25 simp2r 973 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑤N)
26 simp3r 975 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑢N)
2725, 26, 21syl2anc 404 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
28 mulclpi 6984 . . . . 5 ((𝑥N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
2924, 27, 28syl2anc 404 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
30 simp1r 971 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑦N)
31 simp2l 972 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑧N)
3231, 26, 15syl2anc 404 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
33 mulclpi 6984 . . . . 5 ((𝑦N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N)
3430, 32, 33syl2anc 404 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N)
35 simp3l 974 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → 𝑣N)
3625, 35, 17syl2anc 404 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
37 mulclpi 6984 . . . . 5 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
3830, 36, 37syl2anc 404 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
39 addasspig 6986 . . . 4 (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
4029, 34, 38, 39syl3anc 1181 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
41 mulcompig 6987 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
4241adantl 272 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
43 distrpig 6989 . . . . . . . 8 ((N𝑓N𝑔N) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = (( ·N 𝑓) +N ( ·N 𝑔)))
44433coml 1153 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = (( ·N 𝑓) +N ( ·N 𝑔)))
45 addclpi 6983 . . . . . . . . . 10 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 +N 𝑔) ∈ N)
46 mulcompig 6987 . . . . . . . . . 10 ((N ∧ (𝑓 +N 𝑔) ∈ N) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
4745, 46sylan2 281 . . . . . . . . 9 ((N ∧ (𝑓N𝑔N)) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
4847ancoms 265 . . . . . . . 8 (((𝑓N𝑔N) ∧ N) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
49483impa 1141 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ))
50 mulcompig 6987 . . . . . . . . . 10 ((N𝑓N) → ( ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ))
5150ancoms 265 . . . . . . . . 9 ((𝑓NN) → ( ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ))
52513adant2 965 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ))
53 mulcompig 6987 . . . . . . . . . 10 ((N𝑔N) → ( ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ))
5453ancoms 265 . . . . . . . . 9 ((𝑔NN) → ( ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ))
55543adant1 964 . . . . . . . 8 ((𝑓N𝑔NN) → ( ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ))
5652, 55oveq12d 5708 . . . . . . 7 ((𝑓N𝑔NN) → (( ·N 𝑓) +N ( ·N 𝑔)) = ((𝑓 ·N ) +N (𝑔 ·N )))
5744, 49, 563eqtr3d 2135 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 +N 𝑔) ·N ) = ((𝑓 ·N ) +N (𝑔 ·N )))
5857adantl 272 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 +N 𝑔) ·N ) = ((𝑓 ·N ) +N (𝑔 ·N )))
59 mulasspig 6988 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
6059adantl 272 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
61 mulclpi 6984 . . . . . 6 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6261adantl 272 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6342, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26caovdilemd 5874 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))))
64 mulasspig 6988 . . . . . . 7 ((𝑦N𝑤N𝑣N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
65643adant1l 1173 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ 𝑤N𝑣N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
66653adant2l 1175 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ 𝑣N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
67663adant3r 1178 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
6863, 67oveq12d 5708 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)) = (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
69 distrpig 6989 . . . . 5 ((𝑦N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
7030, 32, 36, 69syl3anc 1181 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
7170oveq2d 5706 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
7240, 68, 713eqtr4d 2137 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
73 mulasspig 6988 . . . . 5 ((𝑦N𝑤N𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
74733adant1l 1173 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ 𝑤N𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
75743adant2l 1175 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ 𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
76753adant3l 1177 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
771, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76ecoviass 6442 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ((𝐴 +Q 𝐵) +Q 𝐶) = (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 927   = wceq 1296  wcel 1445  (class class class)co 5690  Ncnpi 6928   +N cpli 6929   ·N cmi 6930   ~Q ceq 6935  Qcnq 6936   +Q cplq 6938
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-pli 6961  df-mi 6962  df-plpq 7000  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-plqqs 7005
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7063  addlocprlemeqgt  7188  addassprg  7235  ltexprlemloc  7263  ltexprlemrl  7266  ltexprlemru  7268  addcanprleml  7270  addcanprlemu  7271  cauappcvgprlemdisj  7307  cauappcvgprlemloc  7308  cauappcvgprlemladdfl  7311  cauappcvgprlemladdru  7312  cauappcvgprlemladdrl  7313  cauappcvgprlem1  7315  caucvgprlemloc  7331  caucvgprlemladdrl  7334  caucvgprprlemloccalc  7340
  Copyright terms: Public domain W3C validator