ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnqg GIF version

Theorem addassnqg 7383
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnqg ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +Q ๐ต) +Q ๐ถ) = (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ถ)))

Proof of Theorem addassnqg
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7349 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 addpipqqs 7371 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
3 addpipqqs 7371 . 2 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q )
4 addpipqqs 7371 . 2 (((((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) ยทN ๐‘ข) +N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ฃ)), ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q )
5 addpipqqs 7371 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) +N (๐‘ฆ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))), (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข))โŸฉ] ~Q )
6 mulclpi 7329 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
76ad2ant2rl 511 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
8 mulclpi 7329 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
98ad2ant2lr 510 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
10 addclpi 7328 . . . 4 (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
117, 9, 10syl2anc 411 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
12 mulclpi 7329 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
1312ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
1411, 13jca 306 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N))
15 mulclpi 7329 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
1615ad2ant2rl 511 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
17 mulclpi 7329 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
1817ad2ant2lr 510 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
19 addclpi 7328 . . . 4 (((๐‘ง ยทN ๐‘ข) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N)
2016, 18, 19syl2anc 411 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N)
21 mulclpi 7329 . . . 4 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
2221ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
2320, 22jca 306 . 2 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N))
24 simp1l 1021 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ N)
25 simp2r 1024 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ N)
26 simp3r 1026 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ N)
2725, 26, 21syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
28 mulclpi 7329 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N)
2924, 27, 28syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N)
30 simp1r 1022 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ N)
31 simp2l 1023 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ N)
3231, 26, 15syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
33 mulclpi 7329 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ข) โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N)
3430, 32, 33syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N)
35 simp3l 1025 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ N)
3625, 35, 17syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
37 mulclpi 7329 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N)
3830, 36, 37syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N)
39 addasspig 7331 . . . 4 (((๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N) โ†’ (((๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) +N (๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข))) +N (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) = ((๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) +N ((๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) +N (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))))
4029, 34, 38, 39syl3anc 1238 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) +N (๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข))) +N (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) = ((๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) +N ((๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) +N (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))))
41 mulcompig 7332 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
4241adantl 277 . . . . 5 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
43 distrpig 7334 . . . . . . . 8 ((โ„Ž โˆˆ N โˆง ๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (โ„Ž ยทN (๐‘“ +N ๐‘”)) = ((โ„Ž ยทN ๐‘“) +N (โ„Ž ยทN ๐‘”)))
44433coml 1210 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ (โ„Ž ยทN (๐‘“ +N ๐‘”)) = ((โ„Ž ยทN ๐‘“) +N (โ„Ž ยทN ๐‘”)))
45 addclpi 7328 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ +N ๐‘”) โˆˆ N)
46 mulcompig 7332 . . . . . . . . . 10 ((โ„Ž โˆˆ N โˆง (๐‘“ +N ๐‘”) โˆˆ N) โ†’ (โ„Ž ยทN (๐‘“ +N ๐‘”)) = ((๐‘“ +N ๐‘”) ยทN โ„Ž))
4745, 46sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((โ„Ž โˆˆ N โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (โ„Ž ยทN (๐‘“ +N ๐‘”)) = ((๐‘“ +N ๐‘”) ยทN โ„Ž))
4847ancoms 268 . . . . . . . 8 (((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ (โ„Ž ยทN (๐‘“ +N ๐‘”)) = ((๐‘“ +N ๐‘”) ยทN โ„Ž))
49483impa 1194 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ (โ„Ž ยทN (๐‘“ +N ๐‘”)) = ((๐‘“ +N ๐‘”) ยทN โ„Ž))
50 mulcompig 7332 . . . . . . . . . 10 ((โ„Ž โˆˆ N โˆง ๐‘“ โˆˆ N) โ†’ (โ„Ž ยทN ๐‘“) = (๐‘“ ยทN โ„Ž))
5150ancoms 268 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ (โ„Ž ยทN ๐‘“) = (๐‘“ ยทN โ„Ž))
52513adant2 1016 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ (โ„Ž ยทN ๐‘“) = (๐‘“ ยทN โ„Ž))
53 mulcompig 7332 . . . . . . . . . 10 ((โ„Ž โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (โ„Ž ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN โ„Ž))
5453ancoms 268 . . . . . . . . 9 ((๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ (โ„Ž ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN โ„Ž))
55543adant1 1015 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ (โ„Ž ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN โ„Ž))
5652, 55oveq12d 5895 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ ((โ„Ž ยทN ๐‘“) +N (โ„Ž ยทN ๐‘”)) = ((๐‘“ ยทN โ„Ž) +N (๐‘” ยทN โ„Ž)))
5744, 49, 563eqtr3d 2218 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ ((๐‘“ +N ๐‘”) ยทN โ„Ž) = ((๐‘“ ยทN โ„Ž) +N (๐‘” ยทN โ„Ž)))
5857adantl 277 . . . . 5 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘“ +N ๐‘”) ยทN โ„Ž) = ((๐‘“ ยทN โ„Ž) +N (๐‘” ยทN โ„Ž)))
59 mulasspig 7333 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
6059adantl 277 . . . . 5 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
61 mulclpi 7329 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
6261adantl 277 . . . . 5 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
6342, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26caovdilemd 6068 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) ยทN ๐‘ข) = ((๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) +N (๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข))))
64 mulasspig 7333 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))
65643adant1l 1230 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))
66653adant2l 1232 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))
67663adant3r 1235 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))
6863, 67oveq12d 5895 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) ยทN ๐‘ข) +N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ฃ)) = (((๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) +N (๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข))) +N (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))))
69 distrpig 7334 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ข) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) = ((๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) +N (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))))
7030, 32, 36, 69syl3anc 1238 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) = ((๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) +N (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))))
7170oveq2d 5893 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) +N (๐‘ฆ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))) = ((๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) +N ((๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) +N (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))))
7240, 68, 713eqtr4d 2220 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) ยทN ๐‘ข) +N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฅ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) +N (๐‘ฆ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))))
73 mulasspig 7333 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
74733adant1l 1230 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
75743adant2l 1232 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
76753adant3l 1234 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN ๐‘ข) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
771, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76ecoviass 6647 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +Q ๐ต) +Q ๐ถ) = (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5877  Ncnpi 7273   +N cpli 7274   ยทN cmi 7275   ~Q ceq 7280  Qcnq 7281   +Q cplq 7283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-plpq 7345  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7408  addlocprlemeqgt  7533  addassprg  7580  ltexprlemloc  7608  ltexprlemrl  7611  ltexprlemru  7613  addcanprleml  7615  addcanprlemu  7616  cauappcvgprlemdisj  7652  cauappcvgprlemloc  7653  cauappcvgprlemladdfl  7656  cauappcvgprlemladdru  7657  cauappcvgprlemladdrl  7658  cauappcvgprlem1  7660  caucvgprlemloc  7676  caucvgprlemladdrl  7679  caucvgprprlemloccalc  7685
  Copyright terms: Public domain W3C validator