Theorem addassnqg 7333

Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnqg	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((𝐴 +Q 𝐵) +Q 𝐶) = (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐶)))

Proof of Theorem addassnqg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7299	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		addpipqqs 7321	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3		addpipqqs 7321	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
4		addpipqqs 7321	. 2 ⊢ (((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢)⟩] ~Q )
5		addpipqqs 7321	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
6		mulclpi 7279	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
7	6	ad2ant2rl 508	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
8		mulclpi 7279	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
9	8	ad2ant2lr 507	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
10		addclpi 7278	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
11	7, 9, 10	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
12		mulclpi 7279	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
13	12	ad2ant2l 505	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
14	11, 13	jca 304	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
15		mulclpi 7279	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
16	15	ad2ant2rl 508	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
17		mulclpi 7279	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
18	17	ad2ant2lr 507	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
19		addclpi 7278	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
20	16, 18, 19	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
21		mulclpi 7279	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
22	21	ad2ant2l 505	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
23	20, 22	jca 304	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
24		simp1l 1016	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑥 ∈ N)
25		simp2r 1019	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑤 ∈ N)
26		simp3r 1021	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑢 ∈ N)
27	25, 26, 21	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
28		mulclpi 7279	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
29	24, 27, 28	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
30		simp1r 1017	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑦 ∈ N)
31		simp2l 1018	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑧 ∈ N)
32	31, 26, 15	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
33		mulclpi 7279	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N)
34	30, 32, 33	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N)
35		simp3l 1020	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑣 ∈ N)
36	25, 35, 17	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
37		mulclpi 7279	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
38	30, 36, 37	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
39		addasspig 7281	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
40	29, 34, 38, 39	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
41		mulcompig 7282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
42	41	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
43		distrpig 7284	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (ℎ ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((ℎ ·N 𝑓) +N (ℎ ·N 𝑔)))
44	43	3coml 1205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((ℎ ·N 𝑓) +N (ℎ ·N 𝑔)))
45		addclpi 7278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (𝑓 +N 𝑔) ∈ N)
46		mulcompig 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℎ ∈ N ∧ (𝑓 +N 𝑔) ∈ N) → (ℎ ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ℎ))
47	45, 46	sylan2 284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℎ ∈ N ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (ℎ ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ℎ))
48	47	ancoms 266	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ℎ))
49	48	3impa 1189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N (𝑓 +N 𝑔)) = ((𝑓 +N 𝑔) ·N ℎ))
50		mulcompig 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℎ ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → (ℎ ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ℎ))
51	50	ancoms 266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ℎ))
52	51	3adant2 1011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N 𝑓) = (𝑓 ·N ℎ))
53		mulcompig 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℎ ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (ℎ ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ℎ))
54	53	ancoms 266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ℎ))
55	54	3adant1 1010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → (ℎ ·N 𝑔) = (𝑔 ·N ℎ))
56	52, 55	oveq12d 5869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → ((ℎ ·N 𝑓) +N (ℎ ·N 𝑔)) = ((𝑓 ·N ℎ) +N (𝑔 ·N ℎ)))
57	44, 49, 56	3eqtr3d 2211	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → ((𝑓 +N 𝑔) ·N ℎ) = ((𝑓 ·N ℎ) +N (𝑔 ·N ℎ)))
58	57	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((𝑓 +N 𝑔) ·N ℎ) = ((𝑓 ·N ℎ) +N (𝑔 ·N ℎ)))
59		mulasspig 7283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ℎ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N ℎ)))
60	59	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ℎ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N ℎ)))
61		mulclpi 7279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
62	61	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
63	42, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26	caovdilemd 6042	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))))
64		mulasspig 7283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
65	64	3adant1l 1225	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
66	65	3adant2l 1227	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝑣 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
67	66	3adant3r 1230	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))
68	63, 67	oveq12d 5869	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)) = (((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢))) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
69		distrpig 7284	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
70	30, 32, 36, 69	syl3anc 1233	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
71	70	oveq2d 5867	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑣)))))
72	40, 68, 71	3eqtr4d 2213	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ·N 𝑢) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑣)) = ((𝑥 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) +N (𝑦 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
73		mulasspig 7283	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
74	73	3adant1l 1225	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
75	74	3adant2l 1227	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
76	75	3adant3l 1229	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑤) ·N 𝑢) = (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))
77	1, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76	ecoviass 6620	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ((𝐴 +Q 𝐵) +Q 𝐶) = (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5851  Ncnpi 7223   +_N cpli 7224   ·_N cmi 7225   ~_Q ceq 7230  Qcnq 7231   +_Q cplq 7233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-oadd 6397  df-omul 6398  df-er 6510  df-ec 6512  df-qs 6516  df-ni 7255  df-pli 7256  df-mi 7257  df-plpq 7295  df-enq 7298  df-nqqs 7299  df-plqqs 7300

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7358  addlocprlemeqgt  7483  addassprg  7530  ltexprlemloc  7558  ltexprlemrl  7561  ltexprlemru  7563  addcanprleml  7565  addcanprlemu  7566  cauappcvgprlemdisj  7602  cauappcvgprlemloc  7603  cauappcvgprlemladdfl  7606  cauappcvgprlemladdru  7607  cauappcvgprlemladdrl  7608  cauappcvgprlem1  7610  caucvgprlemloc  7626  caucvgprlemladdrl  7629  caucvgprprlemloccalc  7635